SOLUCIÓN.
1) La magnitud a optimizar es el volumen de las cajas. 
2) Expresamos el volumen mediante un a función. Si x es el corte que se da en las esquinas e y el ancho resultante de la base de la caja (ver derecha), se tiene que el volumen V es: \[V=y^2·x\]
3) Reducimos el número de variables independientes a una:
Como el área del cartón es de un metro cuadrado, el lado es \[\sqrt{1}=1\]
Entonces: \[x+y+x=1\]
\[y=1-2x\]
Sustituyendo
\[V=(1-2x)^2·x=4x^3-4x^2+x\]
Se trata de calcular el máximo absoluto de la función V.
4) Hallamos los extremos relativos.
Derivando V:
\[V'=12x^2-8x+1\]
Se iguala a cero \[12x^2-8x+1=0\]
Resolviendo, se tienen las soluciones \(x=\dfrac{1}{2}; x=\dfrac{1}{6}\)
Derivando V':
\[V''=24x-8\]
Vemos el signo de V'' en los ceros de V':
\(V''\left(\dfrac{1}{2}\right)=4>0\), por lo que \(x=\dfrac{1}{2}\) es un mínimo relativo.
\(V''\left(\dfrac{1}{6}\right)=-4<0\), por lo que \(x=\dfrac{1}{6}\) es un máximo relativo.
5) La variable x, la medida del corte de las esquinas, oscila entre \(0\), por ser una longitud, y \(\dfrac{1}{2}\), por ser un metro el lado del cartón inicial.
\[V(0)=4·0^3-4·0^2+0=0\]
\[V\left(\dfrac{1}{2}\right)=4\left(\dfrac{1}{2}\right)^3-4\left(\dfrac{1}{2}\right)^2+\dfrac{1}{2}=0\]
Sin embargo, en \(x=\dfrac{1}{6}\) tenemos:
\[V\left(\dfrac{1}{6}\right)=4\left(\dfrac{1}{6}\right)^3-4\left(\dfrac{1}{6}\right)^2+\dfrac{1}{6}=\dfrac{2}{27}\]
por lo que la función V tiene en \(x=\dfrac{1}{6}\) un máximo absoluto.
6) Dado que lo que se pide es el corte que hay que dar al cartón en cada esquina, la respuesta es \(\dfrac{1}{6}\) de metro. Se puede, además, dar el lado de la base de la caja: \(y=1-2x=1-2·\dfrac{1}{6}\), es decir, \(\dfrac{2}{3} m\), siendo el volumen resultante \(\dfrac{2}{27} m^3 \).
7) Reflexionamos.
