\[(f\circ g)'(x)=f'(g(x))·g'(x)\]

La idea es ir derivando en sentido inverso a la jerarquia de las operaciones: si en \(sen^2x\) primero se calcula el seno y luego se eleva al cuadrado, al derivar se hace al revés: primero se deriva el cuadrado y luego el seno:

Sea \(h(x)=sen^2x\)

La función h(x) es la composición de dos funciones: \(f(x)=x^2\ y\ g(x)=senx\), de manera que \[h(x)=f(g(x))=f(senx)=(senx)^2=sen^2x\]

La regla de la cadena dice que primero hay que derivar la función f(x) pero aplicada a g(x):

\(f'(x)=2x \Rightarrow f'(g(x))=2g(x)=2senx\)

Después hay que multiplicar por la derivada de lo que no hemos derivado todavía, es decir, la función g(x): \(g'(x)=cosx\).

Así, tenemos que la derivada de h(x) es:

\(h'(x)=(f\circ g)'(x)=f'(g(x))·g'(x)=2·senx·cosx\)

Otro ejemplo: sea \(j(x)=ln(cos(x^2))\)

En este caso tenemos la composición de tres funciones: \(f(x)=ln(x), g(x)=cosx, h(x)=x^2\). Con estos nombres, la función j(x) queda como:

\[j(x)=f(g(h(x)))\]

En primer lugar derivamos \(f(x) = ln(x)\). Su derivada es \(f'(x)=\dfrac{1}{x}\), pero como hay que aplicarla al resto de la función, queda: \[f'(g(h(x)))=\dfrac{1}{cos(x^2)}\]

En segundo lugar, derivamos \(g(x)=cosx\). Su derivada es \(g'(x)=-senx\), pero como hay que aplicarla al resto de la función, queda: \(g'(h(x))=-sen(x^2)\)

Finalmente, derivamos \(h(x)=x^2\) y tenemos \(h'(x)=2x\).

El resultado final es: \(j'(x)=\dfrac{1}{cos(x^2)}·(-sen(x^2))·2x=-2xtg(x^2)\)

Nota: obviamente no es necesario escribir todo lo anterior, en realidad, una vez entendido el proceso, la última línea basta, siendo el resto del trabajo mental: 1) seguir en sentido contrario la jerarquía de las operaciones; 2) derivar y aplicar a lo que queda sin derivar; 3) repetir el proceso con lo que queda sin derivar y multiplicar por lo obtenido en el paso anterior de la cadena.