Sea el sistema de ecuaciones \[\left\{\begin{array}{l} ax+by=e\\cx+dy=f \end{array}\right.\]

Resolvemos por reducción: \[\left\{\begin{array}{l}(ax+by=e)·(-c)\\(cx+dy=f)·a \end{array}\right.\]

\[\left\{\begin{array}{l}-acx-bcy=-ce\\acx+ady=af \end{array}\right.\]

Sumamos las dos ecuaciones:

\[ady-bcy=af-ce\]

Despejando y:

\[y=\frac{af-ce}{ad-bc}\]

De la misma manera se tiene que:

\[x=\frac{de-bf}{ad-bc}\]

Observando las expresiones de x y de y, se hace obvio que el sistema tendrá una solución única si el denominador de ambas expresiones es distinto de cero. Pues bien, al valor ad-bc se le llama determinante porque determina la unicidad de la solución del sistema.

Notas históricas

• Fue Leibniz el primero que usó expresiones determinantes para resolver sistemas de ecuaciones, aunque las llamó resultantes.
• Método de Gauss: Gauss desarrolló el método de eliminación para resolver sistemas de ecuaciones mientras estudiaba la órbita del asteroide Pallas, trabajo en el que tuvo que resolver un sistema de seis ecuaciones lineales con seis incógnitas.
• Cauchy fue el primero que usó el término determinante en su sentido moderno.
• Sylvester fue el primero en usar la palabra matriz. Uso este término porque consideraba que la matriz es la madre del determinante.

Web: Matrices y determinantes