Método de sustitución
\[\left\{\begin{array}{l} 3x+y-2z=-5\\x+3y+5z=12\\-2x-2y+z=-1 \end{array}\right.\]
Despejamos x de la 2ª:
\[x=-3y-5z+12\]
Sustituimos x en la 1ª y 3ª:
\[\left\{\begin{array}{l} 3(-3y-5z+12)+y-2z=-5\\-2(-3y-5z+12)-2y+z=-1 \end{array}\right.\]
Simplificando:
\[\left\{\begin{array}{l} -8y-17z=-41\\4y+11z=23 \end{array}\right.\]
Lo anterior es un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas, que puede resolverse por cualquiera de los métodos conocidos.
Si multiplicamos la 2ª por 2 y le sumamos la 1ª queda:
\[5z=5\]
Es decir:
\[z=\dfrac{5}{5}=1\]
Sustituyendo en \(4y+11z=23\) tenemos
\[4y+11·1=23\]
de donde
\[y=\dfrac{23-11}{4}=3\]
Finalmente, sustituyendo en \(x=-3y-5z+12\)
\[x=-3·3y-5·1+12=-2\]
Método de Gauss, con ecuaciones
\[\left\{\begin{array}{l} 3x+y-2z=-5\\x+3y+5z=12\\-2x-2y+z=-1 \end{array}\right.\]
Interambiamos las ecuaciones 1ª y 2ª:
\[\left\{\begin{array}{l} x+3y+5z=12\\3x+y-2z=-5\\-2x-2y+z=-1 \end{array}\right.\]
Le sumamos a la 2ª la 1ª multiplicada por -3:
\[\left\{\begin{array}{l} x+3y+5z=12\\-8y-17z=-41\\-2x-2y+z=-1 \end{array}\right.\]
Le sumamos a la 3ª la 1ª multiplicada por 2:
\[\left\{\begin{array}{l} x+3y+5z=12\\-8y-17z=-41\\4y+11z=23 \end{array}\right.\]
Intercambiamos la 2ª y la 3ª:
\[\left\{\begin{array}{l} x+3y+5z=12\\4y+11z=23\\-8y-17z=-41 \end{array}\right.\]
Le sumamos a la 3ª la 2ª multiplicada por 2:
\[\left\{\begin{array}{l} x+3y+5z=12\\4y+11z=23\\5z=5 \end{array}\right.\]
Despejando de la 3ª:
\[z=\dfrac{5}{5}=1\]
Despejando de la 2ª:
\[y=\dfrac{23-11z}{4}=\dfrac{23-11·1}{4}=3\]
Despejando de la 1ª:
\[x=12-3y-5z=12-3·3-5·1=-2\]
Método de Gauss, con matrices
\[\left\{\begin{array}{l} 3x+y-2z=-5\\x+3y+5z=12\\-2x-2y+z=-1 \end{array}\right.\]
Escribimos la matriz:
\begin{pmatrix}{3}&{1}&{-2}&{|}&{-5}\\{1}&{3}&{5}&{|}&{12}\\{-2}&{-2}&{1}&{|}&{-1}\end{pmatrix}
Interambiamos las ecuaciones 1ª y 2ª:
\begin{pmatrix}{1}&{3}&{5}&{|}&{12}\\{3}&{1}&{-2}&{|}&{-5}\\{-2}&{-2}&{1}&{|}&{-1}\end{pmatrix}
Le sumamos a la 2ª la 1ª multiplicada por -3:
\begin{pmatrix}{1}&{3}&{5}&{|}&{12}\\{0}&{-8}&{-17}&{|}&{-41}\\{-2}&{-2}&{1}&{|}&{-1}\end{pmatrix}
Le sumamos a la 3ª la 1ª multiplicada por 2:
\begin{pmatrix}{1}&{3}&{5}&{|}&{12}\\{0}&{-8}&{-17}&{|}&{-41}\\{0}&{4}&{11}&{|}&{23}\end{pmatrix}
Intercambiamos la 2ª y la 3ª:
\begin{pmatrix}{1}&{3}&{5}&{|}&{12}\\{0}&{4}&{11}&{|}&{23}\\{0}&{-8}&{-17}&{|}&{-41}\end{pmatrix}
Le sumamos a la 3ª la 2ª multiplicada por 2:
\begin{pmatrix}{1}&{3}&{5}&{|}&{12}\\{0}&{4}&{11}&{|}&{23}\\{0}&{0}&{5}&{|}&{5}\end{pmatrix}
La 3ª dice que \(5z=5\). Despejando: \[z=\dfrac{5}{5}=1\]
La 2ª dice que \(4y+11z=23\). Despejando y sustituyendo z por 1: \[y=\dfrac{23-11z}{4}=\dfrac{23-11·1}{4}=3\]
La 1ª dice que \(x+3y+5z=12\). Despejando y sustituyendo y por 3, z por 1: \[x=12-3y-5z=12-3·3-5·1=-2\]