Derivabilidad de funciones a trozos
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Función a trozos
derivable
Estudia la derivabilidad de la función
\[f(x)=\left\{\begin{array}{rcl} -x^2+2 & \text{si} & x < 1\\-2lnx+1 & \text{si} & 1\leq x\\ \end{array}\right.\]
en el punto de abscisa x = 1.
SOLUCIÓN.
Continuidad:
\[\displaystyle\lim_{x \to{1^+}}{f(x)}=\lim_{x \to{1^+}}{(-2 ln x+1)}=1\]
\[\displaystyle\lim_{x \to{1^-}}{f(x)}=\lim_{x \to{1^-}}{(-x^2+2)}=1\]
\[f(1)=-2 ln 1+1=1\]
Como los límites laterales y el valor de la función coinciden, f es continua en x = 1.
Derivabilidad:
Se deriva la función f trozo a trozo
\[f'(x)=\left\{\begin{array}{rcl} -2x & \text{si} & x < 1\\\dfrac{-2}{x} & \text{si} & 1< x\\ \end{array}\right.\]
y se calculan sus límites laterales:
\[\displaystyle\lim_{x \to{1^-}}{f'(x)}=\lim_{x \to{1^-}}{-2x}=-2\]
\[\displaystyle\lim_{x \to{1^+}}{f'(x)}=\lim_{x \to{1^+}}{\dfrac{-2}{x}}=-2\]
Como ambas coinciden y la función es continua, f es derivable en x = 1.
Ver gráfica.
Función a trozos
no derivable por ser discontinua
Estudia la derivabilidad de la función
\[f(x)=\left\{\begin{array}{rcl} -x^2 & \text{si} & x < 1\\(x-2)^2 & \text{si} & 1\leq x\\ \end{array}\right.\]
en el punto de abscisa x = 1.
SOLUCIÓN.
Continuidad:
\[\displaystyle\lim_{x \to{1^+}}{f(x)}=\lim_{x \to{1^+}}{(x-2)^2}=1\]
\[\displaystyle\lim_{x \to{1^-}}{f(x)}=\lim_{x \to{1^-}}{-x^2}=-1\]
Al ser los límites laterales distintos la función f tiene una discontinuidad de salto en x= y, por tanto, no es derivable en x = 1.
NOTA
Sin embargo, si derivamos la función f trozo a trozo
\[f'(x)=\left\{\begin{array}{rcl} -2x & \text{si} & x < 1\\2(x-2) & \text{si} & 1< x\\ \end{array}\right.\]
y calculamos los límites laterales:
\[\displaystyle \lim_{x \to{1^-}}{f'(x)}=\lim_{x \to{1^-}}{-2x}=-2\]
\[\displaystyle \lim_{x \to{1^+}}{f'(x)}=\lim_{x \to{1^+}}{2(x-2)}=-2\]
vemos que ambas coinciden. Esto se debe a que, de existir, las "tangentes laterales" serían paralelas, como se aprecia en la siguiente gráfica acercando los puntos A y B a x = 1.
Función a trozos
no derivable por no coincidir las derivadas laterales
Estudia la derivabilidad de la función
\[f(x)=\left\{\begin{array}{rcl} -x^2 & \text{si} & x < 1\\(x-1)^2-1 & \text{si} & 1\leq x\\ \end{array}\right.\]
en el punto de abscisa x = 1.
SOLUCIÓN.
Continuidad:
\[\displaystyle\lim_{x \to{1^+}}{f(x)}=\lim_{x \to{1^+}}{(x-1)^2-1}=-1\]
\[\displaystyle\lim_{x \to{1^-}}{f(x)}=\lim_{x \to{1^-}}{-x^2}=-1\]
\[f(1)=(1-1)^2-1=-1\]
Como los límites laterales y el valor de la función coinciden, f es continua en x = 1.
Derivabilidad:
Se deriva la función f trozo a trozo
\[f'(x)=\left\{\begin{array}{rcl} -2x & \text{si} & x < 1\\2(x-1) & \text{si} & 1< x\\ \end{array}\right.\]
y calculamos los límites laterales:
\[\displaystyle \lim_{x \to{1^-}}{f'(x)}=\lim_{x \to{1^-}}{-2x}=-2\]
\[\displaystyle \lim_{x \to{1^+}}{f'(x)}=\lim_{x \to{1^+}}{2(x-1)}=0\]
Como las derivadas laterales no coinciden, la función no es derivable en x = 1.
Ver gráfico.
Función a trozos
sin una derivada lateral (discontinuidad de salto finito)
Calcula, si es posible, las derivadas laterales de la función
\[f(x)=\left\{\begin{array}{rcl} x^2 & \text{si} & x \leq 1\\x^2+1 & \text{si} & x > 1\\ \end{array}\right.\]
en el punto de abscisa x = 1.
SOLUCIÓN.
\(f'(1^+)=\displaystyle\lim_{h \to{0^+}}{\frac{f(1+h)-f(1)}{h}}=\lim_{h \to{0^+}}{\frac{(1+h)^2+1-1}{h}}=\lim_{h \to{0^+}}{\frac{1+h^2+2h+1-1}{h}}=\infty\)
\(f'(1^-)=\displaystyle\lim_{h \to{0^-}}{\frac{f(1+h)-f(1)}{h}}=\lim_{h \to{0^-}}{\frac{(1+h)^2-1}{h}}=\lim_{h \to{0^-}}{\frac{1+h^2+2h-1}{h}}=2\)
La función no tiene derivada lateral por la derecha de x = 1.
\(f'(1^-)=2\)
Ver gráfico
Función a trozos
sin derivadas laterales (discontinuidad evitable)
Calcula, si es posible, las derivadas laterales de la función
\[f(x)=\left\{\begin{array}{rcl} x^2 & \text{si} & x \neq 1\\2 & \text{si} & x = 1\\ \end{array}\right.\]
en el punto de abscisa x = 1.
SOLUCIÓN.
\(f'(1^+)=\displaystyle\lim_{h \to{0^+}}{\frac{f(1+h)-f(1)}{h}}=\lim_{h \to{0^+}}{\frac{(1+h)^2-2}{h}}=\lim_{h \to{0^+}}{\frac{1+h^2+2h-2}{h}}=-\infty\)
\(f'(1^-)=\displaystyle\lim_{h \to{0^-}}{\frac{f(1+h)-f(1)}{h}}=\lim_{h \to{0^-}}{\frac{(1+h)^2-2}{h}}=\lim_{h \to{0^-}}{\frac{1+h^2+2h-2}{h}}=\infty\)
La función no tiene derivadas laterales en x = 1.
Ver gráfico
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