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Derivabilidad de funciones a trozos
Matemáticas II> Análisis
11º aniversario
 

Derivabilidad de funciones a trozos




 

 

 

 

 











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Función a trozos derivable

Estudia la derivabilidad de la función

\[f(x)=\left\{\begin{array}{rcl} -x^2+2 & \text{si} & x < 1\\-2lnx+1 & \text{si} & 1\leq x\\ \end{array}\right.\]

en el punto de abscisa x = 1.

SOLUCIÓN.

Continuidad:

\[\displaystyle\lim_{x \to{1^+}}{f(x)}=\lim_{x \to{1^+}}{(-2 ln x+1)}=1\]

\[\displaystyle\lim_{x \to{1^-}}{f(x)}=\lim_{x \to{1^-}}{(-x^2+2)}=1\]

\[f(1)=-2 ln 1+1=1\]

Como los límites laterales y el valor de la función coinciden, f es continua en x = 1.

Derivabilidad:

Se deriva la función f trozo a trozo

\[f'(x)=\left\{\begin{array}{rcl} -2x & \text{si} & x < 1\\\dfrac{-2}{x} & \text{si} & 1< x\\ \end{array}\right.\]

y se calculan sus límites laterales:

\[\displaystyle\lim_{x \to{1^-}}{f'(x)}=\lim_{x \to{1^-}}{-2x}=-2\]

\[\displaystyle\lim_{x \to{1^+}}{f'(x)}=\lim_{x \to{1^+}}{\dfrac{-2}{x}}=-2\]

Como ambas coinciden y la función es continua, f es derivable en x = 1.

Ver gráfica.

Función a trozos no derivable por ser discontinua

Estudia la derivabilidad de la función

\[f(x)=\left\{\begin{array}{rcl} -x^2 & \text{si} & x < 1\\(x-2)^2 & \text{si} & 1\leq x\\ \end{array}\right.\]

en el punto de abscisa x = 1.

SOLUCIÓN.

Continuidad:

\[\displaystyle\lim_{x \to{1^+}}{f(x)}=\lim_{x \to{1^+}}{(x-2)^2}=1\]

\[\displaystyle\lim_{x \to{1^-}}{f(x)}=\lim_{x \to{1^-}}{-x^2}=-1\]

Al ser los límites laterales distintos la función f tiene una discontinuidad de salto en x= y, por tanto, no es derivable en x = 1.

NOTA

Sin embargo, si derivamos la función f trozo a trozo

\[f'(x)=\left\{\begin{array}{rcl} -2x & \text{si} & x < 1\\2(x-2) & \text{si} & 1< x\\ \end{array}\right.\]

y calculamos los límites laterales:

\[\displaystyle \lim_{x \to{1^-}}{f'(x)}=\lim_{x \to{1^-}}{-2x}=-2\]

\[\displaystyle \lim_{x \to{1^+}}{f'(x)}=\lim_{x \to{1^+}}{2(x-2)}=-2\]

vemos que ambas coinciden. Esto se debe a que, de existir, las "tangentes laterales" serían paralelas, como se aprecia en la siguiente gráfica acercando los puntos A y B a x = 1.

Función a trozos no derivable por no coincidir las derivadas laterales

Estudia la derivabilidad de la función

\[f(x)=\left\{\begin{array}{rcl} -x^2 & \text{si} & x < 1\\(x-1)^2-1 & \text{si} & 1\leq x\\ \end{array}\right.\]

en el punto de abscisa x = 1.

SOLUCIÓN.

Continuidad:

\[\displaystyle\lim_{x \to{1^+}}{f(x)}=\lim_{x \to{1^+}}{(x-1)^2-1}=-1\]

\[\displaystyle\lim_{x \to{1^-}}{f(x)}=\lim_{x \to{1^-}}{-x^2}=-1\]

\[f(1)=(1-1)^2-1=-1\]

Como los límites laterales y el valor de la función coinciden, f es continua en x = 1.

Derivabilidad:

Se deriva la función f trozo a trozo

\[f'(x)=\left\{\begin{array}{rcl} -2x & \text{si} & x < 1\\2(x-1) & \text{si} & 1< x\\ \end{array}\right.\]

y calculamos los límites laterales:

\[\displaystyle \lim_{x \to{1^-}}{f'(x)}=\lim_{x \to{1^-}}{-2x}=-2\]

\[\displaystyle \lim_{x \to{1^+}}{f'(x)}=\lim_{x \to{1^+}}{2(x-1)}=0\]

Como las derivadas laterales no coinciden, la función no es derivable en x = 1.

Ver gráfico.

Función a trozos sin una derivada lateral (discontinuidad de salto finito)

Calcula, si es posible, las derivadas laterales de la función

\[f(x)=\left\{\begin{array}{rcl} x^2 & \text{si} & x \leq 1\\x^2+1 & \text{si} & x > 1\\ \end{array}\right.\]

en el punto de abscisa x = 1.

SOLUCIÓN.

\(f'(1^+)=\displaystyle\lim_{h \to{0^+}}{\frac{f(1+h)-f(1)}{h}}=\lim_{h \to{0^+}}{\frac{(1+h)^2+1-1}{h}}=\lim_{h \to{0^+}}{\frac{1+h^2+2h+1-1}{h}}=\infty\)

\(f'(1^-)=\displaystyle\lim_{h \to{0^-}}{\frac{f(1+h)-f(1)}{h}}=\lim_{h \to{0^-}}{\frac{(1+h)^2-1}{h}}=\lim_{h \to{0^-}}{\frac{1+h^2+2h-1}{h}}=2\)

 

La función no tiene derivada lateral por la derecha de x = 1.

\(f'(1^-)=2\)

Ver gráfico

Función a trozos sin derivadas laterales (discontinuidad evitable)

Calcula, si es posible, las derivadas laterales de la función

\[f(x)=\left\{\begin{array}{rcl} x^2 & \text{si} & x \neq 1\\2 & \text{si} & x = 1\\ \end{array}\right.\]

en el punto de abscisa x = 1.

SOLUCIÓN.

\(f'(1^+)=\displaystyle\lim_{h \to{0^+}}{\frac{f(1+h)-f(1)}{h}}=\lim_{h \to{0^+}}{\frac{(1+h)^2-2}{h}}=\lim_{h \to{0^+}}{\frac{1+h^2+2h-2}{h}}=-\infty\)

\(f'(1^-)=\displaystyle\lim_{h \to{0^-}}{\frac{f(1+h)-f(1)}{h}}=\lim_{h \to{0^-}}{\frac{(1+h)^2-2}{h}}=\lim_{h \to{0^-}}{\frac{1+h^2+2h-2}{h}}=\infty\)

 

La función no tiene derivadas laterales en x = 1.

Ver gráfico

 
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Alberto Rodriguez Santos
Desde 11-11-2011
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