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Matemáticas II - Probabilidad |
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| ► 11º aniversario | ||
Índice de temas de probabilidad
Tema 13 Probabilidad
- Experimentos aleatorios
- Aleatorio: el que depende del azar. Lo contrario es determinista
- Espacio muestral (E): conjunto de los posibles resultados de un experimento.
- Diagrama de árbol: técnica para calcular el espacio muestral.
- Combinatoria
- Variaciones sin repetición: \(V_{n,m}=\dfrac{n!}{(n-m)!}\)
- Variaciones con repetición: \(VR_{n,m}=n^m\)
- Permutaciones: \(P_n=n!\)
- Combinaciones: \(C_{n,m}=\dfrac{n!}{m!·(n-m)!}\)
- Sucesos.
- Suceso elemental: cada resultado del espacio muestral.
- Suceso compuesto: el formado por dos o más sucesos elementales.
- Si dos sucesos pueden ocurrir simultáneamente se dicen compatibles y si no, incompatibles.
- Suceso seguro (E): el que ocurre siempre.
- Suceso imposible (Ø): el que no ocurre nunca.
- Operaciones con sucesos
- Unión de sucesos: \(A \cup B\)
- Intersección de sucesos: \(A \cap B\)
- Sucesos incompatibles: \(A \cap B=\emptyset\)
- Suceso contrario o complementario: \(\overline A\)
- Obviamente: \(\overline{\overline A}=A\)
- Diferencia de dos sucesos (los resultados de A que no son de B): \(A-B=A \cap \overline B\)
- Leyes de Morgan:
- \(\overline{A \cup B}=\overline A \cap \overline B\)
- \(\overline{A \cap B}=\overline A \cup \overline B\)
- Probabilidad de un suceso
- Probabilidad: función entre 0 y 1 que mide la facilidad de que ocurra dicho suceso.
- Regla de Laplace
- Experimento regular: aquel en el que todos los sucesos elementales tienen la misma probabilidad.
- En un experimento regular, \(P(A)=\dfrac{casos\ favorables\ de\ A}{casos\ posibles}\)
- Frecuencia y probabilidad
- Frecuencia relativa: cociente entre
en el número de veces que se da el suceso y el número de experimentos.- Ley de los grandes números: la probabilidad se puede entender como el número al que tienden las frecuencias relativas al repetir un experimento aleatorio.
- Propiedades de la probabilidad
- \(0 \le P(A) \le 1\)
- \(P(E) = 1\)
- \(P(\emptyset) = 0\)
- \(P(A)= 1 - P(\overline A)\)
- \(P(A \cup B) = P(A) + P(B) – P(A \cap B )\)
- Si A y B son incompatibles, \(P(A \cap B)=P(\emptyset)=0\) por lo que \(P(A \cup B) = P(A) + P(B)\)
- \(P(A-B)=P(A∩\overline {B})=P(A)-P(A∩B)\)
- Probabilidad condicionada
- \(P(B/A)\) = probabilidad de B condicionada a A = probabilidad de que ocurra B sabiendo que ha ocurrido A.
- \(P(B/A) =\dfrac{casos\ de\ A \cap B}{casos\ de\ A}\)
- Regla del producto: \(P(A\cap B)=P(A)·P(B/A) = P(B)·P(A/B)\)
- Sucesos independientes
- Ay B son independientes si \(P(B/A) = P(B)\)
- Si A y B son independientes, \(P(A\cap B) = P(A)·P(B)\)
- Tablas de contingencia
- Tablas de doble entradaapara agrupar los datos de sucesos compuestos
- Teorema de la probabilidad total
- Si tenemos una serie de sucesos \(A_1, A_2, … A_n\) tales que
- son incompatibles (intersección vacía)
- su unión es el espacio muestral
entonces: \(P(B)=P(B/A_1)P(A_1)+P(B/A_2)P(A_2)+...+P(B/A_n)P(A_n)\)
- Demostración: se expresa B como unión de los sucesos \(A_i \cap B\).
- Teorema de Bayes
- Si tenemos una serie de sucesos \(A_1, A_2, … A_n\) tales que
- son incompatibles (intersección vacía)
- su unión es el espacio muestral
- y se sabe que ha ocurrido un suceso B,
se tiene entonces: \(P(A_i/B)=\dfrac{P(B/A_i)P(A_i)}{P(B)}=\dfrac{P(B/A_i)P(A_i)}{P(B/A_1)P(A_1)+P(B/A_2)P(A_2)+...+P(B/A_n)P(A_n)}\)
- Demostración:
En \(P(A_i/B)=\dfrac{P(A_i \cap B)}{P(B)}\) se aplica la regla del producto en el numerador y el teorema de la probabilidad total en el denominador.
- Cálculos:
- Cálculo de probabilidades utilizando combinatoria.
- Cálculo del número total de sucesos.
- Cálculo experimental de probabilidades.
- Probabilidades con y sin reemplazamiento.
EJERCICIOS
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Resumen fórmulas de probabilidad
14 Distribuciones binomial y normal
- Variables aleatorias: función que a cada suceso elemental de un experimento aleatorio se le hace corresponder un número.
- Tipos:
- Discretas: número finito de valores.
- Continuas: número infinito de valores.
- Parámetros
- Media: \(\mu=\sum_{i=1}^{n}p_i·x_i\)
- Varianza: \(\sigma^2=\sum_{i=1}^{n}p_i·(x_i-\mu)^2\)
- Desviación típica: \(\sigma=\sqrt{\sum_{i=1}^{n}p_i·(x_i-\mu)^2}\)
- Distribución de probabilidad: formas de asignar la probabilidad a los valores de una variable aleatoria.
- Distribuciones discretas:
- Formas de determinar una distribución discreta.
- Función de probabilidad:
- \(f(x_i)=P(X=x_i)\)
- Cumple:
- \(f(x_i) \ge 0\)
- \(\sum_{i=1}^{n}f(x_i)=1\)
- Función de distribución
- \(F(x_i)=P(X \le x_i)=\sum_{j=1}^{i}f(x_j)\)
- Es discontinua de salto finito.
- Distribución binomial:
- Se escribe \(X \equiv B(n,p)\)
- Cumple:
- La variable cuenta el número de veces que ocurre un suceso A cuya probabilidad es p al realizar el experimento n veces.
- Cada realización del experimento es independiente.
- Función de probabilidad: \(f(i)=P(X=i)=\binom{n}{i}p^i(1-p)^{n-i}\)
- Uso de tablas.
- Gráfica.
- Ejemplo.
- Distribuciones continuas:
- Formas de determinar una distribución continua.
- Función de densidad:
- Cumple:
- \(f(x) \ge 0 \forall x\)
- \(\int_{-\infty}^{\infty}f(x)dx=1\)
- Función de distribución:
- \(F(x)=P(X \le x)= \int_{-\infty}^{x}f(x)dx\)
- Cumple:
- Im F = [0, 1]
- Es creciente.
- Distribución normal
- Se escribe \(X \equiv N(\mu,\sigma)\)
- Cumple:
- \(\mu\): media de la variable. \(\sigma\): desviación típica.
- Su función de densidad es simétrica respecto de la media.
- Gráfica.
- Gráfico porcentajes \(\mu - \sigma\)
- La distribución \(Z \equiv N(0,1)\)
- Tipificación: \(x\rightarrow \dfrac{x-\mu}{\sigma}\)
- Tablas.
- Ejemplos.
- Aproximación de la binomial:
- Para n suficientemente grande la binomial se puede aproximar por la normal haciendo:
- \(\mu=np\)
- \(\sigma=\sqrt{np(1-p)}\)
- Se considera buena la aproximación cuando se cumple: \(np>5\) y \(n(1-p)>5\)
- Comparación gáficas binomial-normal.
- Ejemplos.
Tabla binomial
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Tabla normal
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