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	Matemáticas II - Geometría
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Índice de temas de geometría 4. Vectores en el espacio. 5. Rectas y planos en el espacio. 6. Métrica en el espacio.	Esquema ** Ejercicios   Gaspard Monge
Tema 4 Vectores en el espacio Un punto en el espacio. Magnitudes escalares y vectoriales. Vector fijo: Segmento orientado. Origen y extremo. Se escribe \(\overrightarrow{AB}\). Elementos: Módulo. Dirección. Sentido. Coordenadas a partir de los puntos. Vector libre [*] Vectores equipolentes: igual módulo, dirección y sentido. Vector libre: clase de todos los vectores equipolentes. Se escribe \(\vec{v}\). Operaciones con vectores en 3d Repaso: operaciones con vectores en 2d Opuesto. Suma. Resta. Multiplicación por un escalar. Combinación lineal de tres vectores Independencia lineal. Dos vectores linealmente dependientes son proporcionales. Bases. En el plano, dos vectores. En el espacio, tres. Sistema de referencia Sistema de referencia: punto y base.. Sistema de referencia canónico. Coordenadas. Cambio de base. Módulo. Las operaciones de vectores con coordenadas. Independencia lineal con rangos. Cálculos Vector posición. Punto medio de un segmento. Dividir un segmento en parte iguales. [*] Vectores paralelos. Puntos alineados. Producto escalar. Física: trabajo. Definición: \(\vec{u}·\vec{v}=|u|·|v|·cos \alpha\) Interpretación geométrica: producto de uno por la proyección del otro. Propiedades: \(\vec{u}·\vec{u}=|u|^2\) \(\vec{u}·\vec{v}=\vec{v}·\vec{u}\) \(\vec{u}·(\vec{v}+\vec{w})=\vec{u}·\vec{v}+\vec{u}·\vec{w}\) \(k·(\vec{u}·\vec{v})=(k\vec{u})·\vec{v}=\vec{u}·(k\vec{v})\) \(\vec{u}·\vec{v}=0 \Leftrightarrow \text{son perpendiculares}\) Expresión en coordenadas. Aplicaciones: Ángulo entre dos vectores. Vector proyección: \(proy_{\vec{u}}\vec{v}=\dfrac{\vec{u}·\vec{v}}{|\vec{u}|^2}\vec{u}\) Criterio de perpendicularidad.. Producto vectorial y producto mixto Producto vectorial Física: momento angular. Definición: Módulo: \(|\vec{u}\times \vec{v}|=|\vec{u}|·|\vec{v}|·sen(\vec{u},\vec{v})\) Dirección: perpendicular a \(\vec{u} \text{ y } \vec{v}\) Sentido: regla del sacacorchos. Interpretación geométrica: área del paralelogramo. Propiedades: \(|\vec{u}\times \vec{u}|=0\) \(\vec{u}\times \vec{v}=-\vec{v}\times \vec{u}\) \(\vec{u}\times (\vec{v}+\vec{w})=\vec{u}\times \vec{v}+\vec{u}\times \vec{w}\) \(k·(\vec{u} \times \vec{v})=(k\vec{u}) \times \vec{v}=\vec{u}\times (k\vec{v})\) \(\vec{u}\times \vec{v}=0 \Leftrightarrow \text{son paralelos}\) En general, \(\vec{u}\times (\vec{v} \times \vec{w}) \ne (\vec{u}\times \vec{v}) \times \vec{w}\) Expresión en coordenadas: \(\vec{u}\times \vec{v}=\left| \begin{array}{ccc}\vec{i} & \vec{j} & \vec{k}\\ u_1 & u_2 & u_3 \\ v_1 & v_2 & v_3 \end{array} \right|=\left| \begin{array}{cc} u_2 & u_3 \\ v_2 & v_3 \end{array} \right|\vec{i}-\left| \begin{array}{cc} u_1 & u_3 \\ v_1 & v_3 \end{array} \right|\vec{j}+\left| \begin{array}{cc} u_1 & u_2 \\ v_1 & v_2 \end{array} \right|\vec{k}\) Aplicaciones: Vector perpendicular. Bases de vectores ortogonales. Área del paralelogramo. Área del triángulo. Producto mixto \([\vec{u},\vec{v},\vec{w}]=\vec{u}·(\vec{v}\times\vec{w})\) Interpretación geométrica: volumen del paralelepípedo. Expresión en coordenadas: \([\vec{u},\vec{v},\vec{w}]=\left| \begin{array}{ccc} u_1 & u_2 & u_3\\ v_1 & v_2 & v_3 \\ w_1 & w_2 & w_3 \end{array} \right|\) Aplicaciones: Volumen del paralelepípedo. Volumen del tetraedro. Cálculos: Vértices de un paralelogramo. Coordenadas respecto de una base. Parámetro para que tres vectores sean l.i. Parámetro para que dos vectores sean proporcionales. Parámetro para que un triángulo tenga un área dada. Vectores perpendiculares con ciertas condiciones. Producto mixto por las propiedades.
Tema 5 Rectas y planos en el espacio La recta en el espacio La recta: punto y vector. Ecuaciones. Vectorial. Paramétricas. Continua. Implícitas o cartesianas. Recta que pasa por dos puntos. El plano en el espacio El plano: punto y dos vectores. Ecuaciones Vectorial. Paramétricas. General o implícita. Plano que pasa por tres puntos. Cálculos. Ver si varios puntos están alineados. Ver si varios puntos son coplanarios. Vector normal del plano: coeficientes de la ecuación general. Vector director de una recta expresada por dos planos secantes. Posiciones relativas: se estudia el sistema formado por las ecuaciones de los objetos. Resumen. Posiciones relativas (visualizador). Posiciones relativas de recta y plano. Secantes. Paralelos. Recta contenida en el plano. Posiciones relativas de dos planos Coincidentes. Secantes. Paralelos. Posición relativa de tres planos en el espacio (ejemplos). Se cortan en un punto. Se cortan dos a dos. Dos paralelos cortan al tercero. Se cortan en una recta sin ser coincidentes. Dos coincidentes cortan al tercero. Tres planos paralelos. Dos coincidentes paralelos al tercero. Tres planos coincidentes. Posición relativa de dos rectas: Coincidentes. Secantes. Paralelas. Se cruzan. También se puede estudiar la posiciòn relativa de dos rectas estudiando la relación entre sus vectores directores y el vector que une un punto de cada una de ellas. Perpendicularidad entre recta y plano. Haces de planos. Haz de planos paralelos. Haz de planos secantes. Cálculos: Pertenencia de un punto a una recta. Sin parámetro. Con parámetro. Recta que pasa por un punto y es paralela a otra. Plano que contiene a una recta y a un punto exterior a ella. Plano que contiene a dos rectas secantes. Plano que contiene a dos rectas paralelas. Plano que pasa por un punto y es paralelo a otro. Plano que contiene a una recta y es perpendicular a otro. Recta que pasa por un punto y toca a otras dos rectas. Recta perpendicular a dos rectas que se cruzan (Monge). Proyecciones ortogonales y simetrías. Punto simétrico respecto de otro. Proyección de un punto sobre una recta. Punto simétrico respecto de la recta. Proyección de un punto sobre un plano. Punto simétrico respecto del plano. Proyección de una recta sobre un plano. Recta simétrica respecto del plano.
Tema 6 Métrica en el espacio Al finalizar el tema, tenemos que saber: Ángulos. Ángulo formado por dos vectores: \(\alpha = arccos \left( \dfrac{\vec{u}·\vec{v}}{|\vec{u}|·|\vec{v}|} \right)\) Ángulo entre rectas: \(\alpha = arccos \left( \dfrac{|\vec{u}·\vec{v}|}{|\vec{u}|·|\vec{v}|} \right)\); donde \(\vec{u}, \vec{v}\) son vectores directores de las rectas. (Se toma el valor absoluto del producto escalar para que el ángulo siempre salga agudo). Ángulo entre una recta y un plano: el complementario del formado por la recta y la dirección normal al plano. Se usa un vector director de la recta y uno normal al plano. Ángulo entre dos planos: el formado por sus direcciones normales. Se usa un vector normal a cada plano. Distancias Entre puntos: \(d(P,Q)=|\overrightarrow{PQ}|\). De un punto a un plano (Lagrange): \(d(P,\pi)=\dfrac{|Ap_1+Bp_2+Cp_3+D|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}\). Entre planos: No son paralelos: la distancia es cero. Son paralelos: se halla distancia de un punto de uno de los planos al otro plano. Entre recta y plano: No son paralelos: la distancia es cero. Son paralelos: se halla distancia de un punto de la recta al planos. De un punto a una recta: \(d(P,r)=\dfrac{|\vec{v_r}\times \overrightarrow{AP}|}{|\vec{v_r}|}\) Entre rectas: Se cortan: la distancia es cero. Paralelas: se halla distancia de un punto de uno de los planos al otro plano. Se cruzan: \(d(r,s)=\dfrac{|[\overrightarrow{AB},\vec{v_r}, \vec{v_s}]|}{|\vec{v_r} \times \vec{v_s}|}\).