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	Matemáticas II - Álgebra
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Índice de temas de álgebra 1. Matrices 2. Determinantes 3. Sistemas de ecuaciones ESQUEMA
Tema 1 Matrices Definición. Filas y columnas. Elementos: \(a_{ij}\). Dimensión. Igualdad. Clasificación: Matriz fila. Matriz columna. Matriz nula o matriz cero (una por cada dimensión). Matriz cuadrada. Orden. Diagonal principal. Tipos: Triangular superior. Triangular inferior. Diagonal. Identidad (una para cada orden). Matriz rectangular. Operaciones Matriz transpuesta. Matrices simétricas: \(A = A^t\) Matrices antisimétricas: \(A = -A^t\) Diagonal principal de ceros. Una matriz se dice ortogonal si \(A·A^t=I\) Suma. Propiedades: Conmutativa. Asociativa. Elemento neutro. Elemento opuesto. La resta es la suma del opuesto. Producto de una matriz por un número. Producto de matrices: Producto una matriz fila por una matriz columna. Producto de dos matrices. Propiedades: Asociativa. Elemento neutro. Distributiva. En general, el producto NO es conmutativo.  No siempre existe la matriz inversa Primeros ejercicios de matrices. Operaciones con matrices: interpretación.    Rango de una matriz. Combinación lineal de vectores. Dependencia lineal. Filas linealmente dependientes. Rango por filas y rango por columnas. El rango por filas es siempre igual al rango por columnas. \(rg(A)=rg(A^t\) Método de Gauss: hacer ceros por debajo de la diagonal principal.. Intercambio de filas. Multiplicar una fila por un número. Sumarle a una fila una combinaciòn lineal de las demás. Inversa de una matriz \(\text{Una matriz A cuadrada tienen inversa si } \exists \text{ una matriz }A^{-1} / A·A^{-1}=I\) \(A^{-1}·A=I\) Matrices regulares o invertibles: las que tienen inversa. Matrices singulares: las que no tienen inversa. Una matriz de orden n tiene invesa si y solo rg(A) = n. Propiedades \((A^{-1})^{-1}=A\) \((A·B)^{-1}=B^{-1}·A^{-1}\) \((A^t)^{-1}=(A^{-1})^t\) Cálculo por el método de Gauss Jordan: \((A|I) \rightarrow (I|A^{-1})\) Ecuaciones matriciales Cálculos: Determinar matrices que cumplan cierta condición. Cálculo de constantes en igualdades de matrices. Potencias n-ésimas de matrices. Cálculo del rango de una matriz en función de un parámetro. Cálculo de la inversa de una matriz en función de un parámetro.	Calculadora para operar con matrices de orden tres. * Calculadora de potencias de matrices
Tema 2 Determinantes Determinante. Orden. Fórmula de Leibniz: \(\displaystyle |A|=\sum_{\sigma \in P_n}{sgn(\sigma) \prod_{i=1}^n{ a_{i,\sigma_i}}}\) [*] Determinantes de orden 2 y 3. Orden 2: productos cruzados. Orden 3: regla de Sarrus. Propiedades: \(|A|=|A^t|\) Si se intercambian dos filas o columnas, el determinante cambia de signo. Si se multiplica una fila o una columna por un número, el determinante se multiplica por ese número. Si una matriz tiene una fila o una columna de ceros, el determinante es cero. Si a una fila o columna se le suma una combinación lineal de las demás, el determinante no varia. Si dos filas o columnas son iguales, el determinante es cero. Si una fila o columna es combinación lioneal de las demas, el determinante es cero. Los determiantes se pueden desdoblar por una fila o una columna. \(|A·B|=|A|·|B|\) Cálculo del determinante de una matriz transformándola en una matriz triangular. Determinante de una matriz triangular. Método de triangulación. Menor, menor complementario y adjunto. Menor de orden k: el determinante formado por elementos de k filas y k columnas de una matriz. Menor complementario de un elemento \(a_{ij}\). Se nota \(\alpha_{ij}\) y consiste en eliminar la fila i y la columna j de la matriz. Adjunto de un elemento \(a_{ij}\): es la matriz \(A_{ij}=(-1)^{sg{(i+j)}}\alpha_{ij}\) Desarrollo de un determinante por adjuntos: suma de los productos de los elementos de una fila o columna por sus adjuntos. Cálculo de deteminantes: se hacen ceros y se aplica lo anterior. Cálculo del rango de una matriz por menores. El rango coincide con el orden del mayor menor no nulo. Método de cálculo. Cálculo de la inversa de una matriz: Matriz de los adjuntos: Adj(A). Matriz inversa: \(A^{-1}=\dfrac{Adj(A)^t}{|A|}\) Es obvio que existe la inversa si y solo si \(|A|\neq 0\) También es obvio que: \(|A^{-1}|=\dfrac{1}{|A|}\) Cálculos varios: Ecuaciones con determinantes. Reducir un determinante a otro que se conoce. Calcular el detminante de una matriz según su orden. Ecuaciones matriciales. AX + B = C Con factor común: AX + X=B Cálculos en función de un parámetro: Rango. Matriz regular.	Origen de los determinantes
Tema 3 Sistemas de ecuaciones Ecuación lineal Coeficientes, término independiente. Solución. Sistemas de ecuaciones lineales. Ecuaciones e incógnitas. Coeficientes, términos independientes. Solución. Clasificación: Incompatible. Compatible. Deteterminado. Indeterminado. Expresión matricial de un sistema de ecuaciones. Matriz de los coeficientes: A. Matriz de los términos independientes: B. Sistema: \(A·X=B\), donde X es la matriz de las incógnitas. Matriz ampliada: A* Cálculo de la solución: Con la inversa: dado el sistema \(A·X = B\), la solución es \(X = A^{-1}·B\) Método de Gauss: conversión del sistema en otro equivalente escalonado. Sobre la matriz ampliada se realizan las siguientes operaciones: Intercambio de ecuaciones. Multiplicación de una ecuación por un número. Suma de una ecuación con una combinación lineal de otras. Ejemplo. Regla de Cramer: si \(|A| \neq 0\), \(x_i=\dfrac{|A_{x_i}|}{|A|}\). Sistemas determinados. Sistemas indeterminados Discusión de sistemas de ecuaciones: clasificarlo según el número de sus soluciones. Por el método de Gauss. Con parámetros. Teorema de Rouché-Fröbenius: un sistema \(A·X=B\) es compatible si y solo si \(rg(A)=rg(A*)\). Discusión: Si \(rg(A) \neq rg(A*)\), incompatible. Si \(rg(A) = rg(A*)=r\), compatible. Si r=n, determinado. Si r<n, indeterminado Caso particular: sistemas homogéneos.