Monotonía y extremos relativos

El número de individuos de una población de bacterias, una vez que al cultivo le ha sido aplicado un medicamento experimental, viene dado por la fórmula \(N(t) = 20t^3 - 510t^2 + 3600t + 2000\), donde t es el tiempo en horas.

1. ¿Cuántas bacterias había en el momento de aplicarse el medicamento?

2. ¿Y a las 10 horas?

3. ¿Cuándo empieza a disminuir el número de bacterias?

4. ¿Cuántas bacterias hay en ese momento?

5. ¿Cuándo es máximo el efecto del medicamento?

6. ¿Cuántas bacterias hay en ese momento?

SOLUCIÓN.

1) \(N(0) = 20·0^3 – 510·0^2 + 3600·0 + 2000 = 2000\)

2) \(N(10) = 20·10^3 – 510·10^2 + 3600·10 + 2000 = 7000\)

3) Derivamos la función para obtener sus extremos relativos.

\[N’(t) = 60t^2 - 1020t + 3600\]

Igualamos a cero: \(N’(t) = 0 \Rightarrow t1 = 5 ;  t2 = 12\)

Estudiamos la monotonía:
N’(0) = 3600 > 0
N’(10) = -600 <0
N’(20) = 7200 > 0

                       5                             12
______+______|______-__________|______+_______
     creciente      |      decreciente         |     creciente

Luego en \(t_1=5\) N tiene un máximo relativo, mientras que en \(t_2=12\) tiene un mínimo relativo.

El número de bacterias empieza disminuir en t = 5.

4) \(N(5) = 20·5^3 – 510·5^2 + 3600·5 + 2000 =6312\).

5) El efecto del medicamento es máximo en t = 12.

6) \(N(12) = 20·12^3 – 510·12^2 + 3600·12 + 2000 = 9750\).