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Un triángulo tangencial

Calcula para qué abscisas la tangente a la función \(f(x)=\dfrac{1}{x}\) forma con los ejes coordenados un triángulo de 2 unidades cuadradas.

 

Solución

     
Improvisando, se lo puse a mis alumnos de segundo de bachillerato sin haber pensado en el resultado, lo confieso.  
 
 





SOLUCIÓN

Para \(a \in \mathbb{R}\), \(f(a)=\dfrac{1}{a}\) y \(f'(a)=-\dfrac{1}{a^2}\) por lo que la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función en \(x=a\) es

\[y-\dfrac{1}{a}=-\dfrac{1}{a^2}(x-a)\]

Punto de corte con el eje OX: \(y=0 \rightarrow x=2a\)

Punto de corte con el eje OY: \(x=0 \rightarrow y=\dfrac{2}{a}\).

El área del triángulo será, entonces, \(\dfrac{2a*\dfrac{2}{a}}{2}=2\).

Es decir, para cualquier abscisa a, el triángulo descrito tendrá área 2.

***

Hasta aquí queda resuelto el problema. Ahora tocaría preguntarse por qué.

Si \(y =\dfrac{1}{x}\) entonces \(xy=1\), es decir, que x e y son los lados de un rectángulo de área 1. Dicho de otro modo, la hipérbolaes el lugar geométrico de los puntos del plano que forman con los ejes coordenados rectángulos de área 1 (en realidad sería una mitad de ese lugar geométrico: la otra mitad sería la gráfica de la hipérbola \(y =-\dfrac{1}{x}\)).

Pues bien, resulta que el triángulo formado por la tangente a la gráfica y los ejes coordenados tiene el doble de área que el cuadrado. La razón es que la tangente es paralela a la diagonal decreciente del rectángulo, pues ambas tienen pendiente \(-\dfrac{1}{a^2}\).

Volviendo al lugar geométrico, ¿qué ecuación podría expresarlo completo? Podríamos usar la expresión \(|xy|=1\) o la equivalente \(x^2y^2=1\), ambas con la gráfica siguiente.


► Todo lo anterior puede verse dinámicamente en este enlace o ejecutando el siguiente archivo de GeoGebra

 
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Epsilones. Página + o - matemática de Alberto. Correo: alberto@epsilones.com. En la red desde el 4-7-2002 (ya hace). Última actualización: ver Novedades.
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