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Generalización del teorema de Pitágoras en 3D

El cuadrado del área de un triángulo es igual a la suma de los cuadrados de las áreas de los triángulos obtenidos por proyección sobre los planos coordenados.

En el gráfico de la derecha, el enunciado dice que el cuadrado del área del triángulo negro es igual a la suma de los cuadrados de las áreas de los triángulos grises.

El ejercicio consiste en demostrar este resultado.

 

Solución


► Archivo GeoGebra

     

En dos dimensiones el enunciado diría que el cuadrado de la longitud de un segmento es igual a la suma de los cuadrados de las longitudes de sus proyecciones sobre los ejes.

Es decir, el teorema de Pitágoras:


► Archivo GeoGebra

► Bibliografía: Boyer, p.600.

 
 
 





SOLUCIÓN

Si un punto A tiene por coordenadas \((a_1, a_2, a_3)\), su proyección sobre el plano YZ será \((0, a_2, a_3)\). De la misma manera, sobre XZ será \((a_1, 0, a_3)\) y sobre XY \((a_1, a_2, 0)\).

Teniendo esto en cuenta y utilizando la siguiente fórmula para el área de un triángulo, en la que \(\times\) simboliza el producto vectorial y A, B y C son los vértices de un triángulo:

\[Área(ABC)=\dfrac{1}{2}|\vec{AB}\times \vec{AC}|=\dfrac{1}{2}|\left| \begin{array}{ccc}\vec{i} & \vec{j} & \vec{k}\\ b_1-a_1 &b_2-a_2& b_3-a_3 \\ c_1-a_1 &c_2-a_2& c_3-a_3 \end{array} \right||\]

se trataría de demostrar entonces que:

\[\left(\dfrac{1}{2}|\left| \begin{array}{ccc}\vec{i} & \vec{j} & \vec{k}\\ b_1-a_1 &b_2-a_2& b_3-a_3 \\ c_1-a_1 &c_2-a_2& c_3-a_3 \end{array} \right||\right)^2=\left(\dfrac{1}{2}|\left| \begin{array}{ccc}\vec{i} & \vec{j} & \vec{k}\\ 0 &b_2-a_2& b_3-a_3 \\ 0 &c_2-a_2& c_3-a_3 \end{array} \right||\right)^2+\left(\dfrac{1}{2}|\left| \begin{array}{ccc}\vec{i} & \vec{j} & \vec{k}\\ b_1-a_1 & 0 & b_3-a_3 \\ c_1-a_1 & 0 & c_3-a_3 \end{array} \right||\right)^2+\left(\dfrac{1}{2}|\left| \begin{array}{ccc}\vec{i} & \vec{j} & \vec{k}\\ b_1-a_1 &b_2-a_2& 0 \\ c_1-a_1 &c_2-a_2& 0 \end{array} \right||\right)^2\]

lo cual es trivial (me encanta decir esto).

Solución de la solución.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

***

Está bien: veamos la trivialidad.

Calculamos los cuatro productos vectoriales:

\[\left| \begin{array}{ccc}\vec{i} & \vec{j} & \vec{k}\\ b_1-a_1 &b_2-a_2& b_3-a_3 \\ c_1-a_1 &c_2-a_2& c_3-a_3 \end{array} \right|=\left( \left| \begin{array}{cc}b_2-a_2 &b_3-a_3 \\ c_2-a_2 &c_3-a_3 \end{array} \right|, -\left| \begin{array}{cc}b_1-a_1 &b_3-a_3 \\ c_1-a_1 &c_3-a_3 \end{array} \right|, \left| \begin{array}{cc}b_1-a_1 &b_2-a_2 \\ c_1-a_1 &c_2-a_2 \end{array} \right| \right)\]

\[\left| \begin{array}{ccc}\vec{i} & \vec{j} & \vec{k}\\ 0 &b_2-a_2& b_3-a_3 \\ 0 &c_2-a_2& c_3-a_3 \end{array} \right|=\left( \left| \begin{array}{cc}b_2-a_2 &b_3-a_3 \\ c_2-a_2 &c_3-a_3 \end{array} \right|, 0,0 \right)\]

\[\left| \begin{array}{ccc}\vec{i} & \vec{j} & \vec{k}\\ b_1-a_1 &0& b_3-a_3 \\ c_1-a_1 &0& c_3-a_3 \end{array} \right|=\left( 0, -\left| \begin{array}{cc}b_1-a_1 &b_3-a_3 \\ c_1-a_1 &c_3-a_3 \end{array} \right|, 0 \right)\]

\[\left| \begin{array}{ccc}\vec{i} & \vec{j} & \vec{k}\\ b_1-a_1 &b_2-a_2& 0 \\ c_1-a_1 &c_2-a_2& 0 \end{array} \right|=\left( 0,0, \left| \begin{array}{cc}b_1-a_1 &b_2-a_2 \\ c_1-a_1 &c_2-a_2 \end{array} \right| \right)\]

Se ve que los tres últimos productos vectoriales son las proyecciones del primero sobre los ejes coordenados. Si, por simplificar, llamamos a las coordenadas del primero (x, y, z), los otros tres vectores son, respectivamente, (x, 0, 0), (0, y, 0) y (0, 0, z).

Se tiene:

\[|(x,y,z)|^2=x^2+y^2+z^2=|(x,0,0)|^2+|(0,y,0)|^2+|(0,0,z)|^2\]

(Obsérvese que esto último es la versión tridimensional del teorema de Pitágonas para la diagonal de un ortoedro).

Multiplicando por \(\dfrac{1}{4}\) en el primer y último miembro:

\[\left(\dfrac{1}{2}|(x,y,z)|\right)^2=\left(\dfrac{1}{2}|(x,0,0)|\right)^2+\left(\dfrac{1}{2}|(0,y,0)|\right)^2+\left(\dfrac{1}{2}|(0,0,z)|\right)^2\] que es lo que queríamos demostrar.

 
Comentarios
Epsilones. Página + o - matemática de Alberto. Correo: alberto@epsilones.com. En la red desde el 4-7-2002 (ya hace). Última actualización: ver Novedades.
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