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89 = 8·9 + (8+9)

Pues sí, 8 y 9 tienen este "remarcable conportamiento", en palabras de Thomas Koshy. La cuestión es ¿qué números cumplen esto mismo?

Precisando:

¿Qué números naturales admiten una descomposición de sus cifras en dos partes de modo que el producto más la suma de dichas partes sea el número original?

 

Solución

     

Fibonacci and Lucas Numbers with Applications, p.11.

 
 
 





SOLUCIÓN

Las cifras de un número natural cualquiera se pueden descomponer en dos partes a y b de la siguiente manera: \(a·10^n+b\).

Si se cumple el enunciado del problema, tenemos:

\(a·10^n+b=a·b+(a+b)\)

\(a·10^n+b=a·b+a+b\)

\(a·10^n=a·b+a\)

\(a·10^n=a·(b+1)\)

\(10^n=b+1\)

\(b=10^n-1\)

Es decir, que b es una secuencia de nueves, mientras que a puede ser cualquier cosa.

Visto al revés, ahora es obvio:

\(a·10^n+b=a·(10^n-1+1)+b=a·(10^n-1) + a + b\)

Ejemplos:

  • 89 = 8·9 + (8+9)
  • 35999 = 35·999 + (35+999)
 
Comentarios
Epsilones. Página + o - matemática de Alberto. Correo: alberto@epsilones.com. En la red desde el 4-7-2002 (ya hace). Última actualización: ver Novedades.
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