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Tres circunferencias tangentes

Este problema es uno de los más conocidos ejemplos de sangaku, problemas matemáticos que, escritos en tablillas, se encuentran en los templos japoneses.

Tenemos dos circunferencias tangentes, una tercera tangente a las dos anteriores, y todas tangentes a una misma recta. Vamos, lo que se puede ver en la construcción de la derecha.

El problema consiste en encontrar una relación entre los radios de las tres circunferencias.

 

Solución

     
Supe de los sangaku por Alejandro Serra, que me habló de ellos ya hace unos años. Algunos de ellos se pueden ver, inlcuido este que propongo, en The New Temple Geometry Problems in Hirotaka's Ebisui Files.  
 
 





SOLUCIÓN
Pista : la relación es \(\dfrac{1}{\sqrt{c}}=\dfrac{1}{\sqrt{a}}+\dfrac{1}{\sqrt{b}}\)

Ahora que la sabes, ¿podrías demostrarla?

Vamos a ello.

Consideremos el trapecio formado por los radios a y b:

Aplicando el teorema de Pitágoras al triángulo rectángulo superior se tiene:

\[(a+b)^2=(a-b)^2+z^2\]

Despejando:

\[z=2\sqrt{ab}\]

Haciendo los mismo con el trapecio fomado por los radios a y c

se tiene:

\[(a+c)^2=(a-c)^2+x^2\rightarrow x=2\sqrt{ac}\]

Repitiendo finalmente el proceso con el trqpecio formado por los radios b y c:

se tiene:

\[(b+c)^2=(b-c)^2+y^2\rightarrow y=2\sqrt{bc}\]

Como \(z=x+y\),

\[2\sqrt{ab}=2\sqrt{ac}+2\sqrt{bc}\]

Dividiendo por \(2\sqrt{abc}\) queda

\[\dfrac{1}{\sqrt{c}}=\dfrac{1}{\sqrt{a}}+\dfrac{1}{\sqrt{b}}\]

expresión de por sí intersante, pero que puede serlo más aún si la ponemos en notación potencial:

\[c^{-\frac{1}{2}}=a^{-\frac{1}{2}}+b^{-\frac{1}{2}}\]

O si, en vez de utilizar radios, utilizamos sus inversas, es decir, las curvaturas:

\[\sqrt{k_c}=\sqrt{k_a}+\sqrt{k_b}\]


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Epsilones. Página + o - matemática de Alberto. Correo: alberto@epsilones.com. En la red desde el 4-7-2002 (ya hace). Última actualización: ver Novedades.
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