Epsilones
Problemas
Siguenos en Blogger

 ◄
► 
Siguiente
   

Diagonales

¿Cuántas diagonales tiene un polígono de 10 lados como el de la figura? Y, ya puestos, ¿cuántas tiene uno de 100 lados? ¿Y uno de 216?

 

Solución

     
Un clásico.  
 
 





SOLUCIÓN

1) Usando combinatoria:

Sea un poligono de n vértices. Dados n puntos, el número de rectas que unen dos de ellos es el número de combinaciones posibles de n elementos tomados de dos en dos (ver números combinatorios), es decir, \(\displaystyle\binom{n}{2}\). De esta cantidad hay que restar el número de rectas que unen dos vértices consecutivos, por corresponder estas a los lados del polígono. De este modo, número de diagonales \(=\displaystyle\binom{n}{2}-n\).

2) Otra solución, sin usar combinatoria, es la siguiente:

Desde un vértice dado se pueden trazar (n - 3) diagonales (hay que descartar el propio vértice y los dos adyacentes). Desde el siguiente vértice, lo mismo. Desde el tercer vértice se podrán trazar solo (n - 4) diagonales, pues la que le une con el primer vértice ya está trazada. Desde el cuarto vértice se podrán trazar solo (n - 5) diagonales, pues las que le unen con el primer y el segundo vértices ya están trazadas.

Repitiendo el argumento, se tiene que el número de diagonales es:

\((n-3)+(n-3)+(n-4)+(n-5)+...+3+2+1\), es decir, (n - 3) más la suma de los (n - 3) primeros naturales. Aplicando la fórmula de la suma de los primeros términos de una progresión aritmética, tenemos \((n-3)+\dfrac{1+(n-3)}{2}·(n-3)\), lo cual, tras las oportunas simplificaciones, da la fórmula \((n-3)·\dfrac{n}{2}\).

 
Comentarios
Epsilones. Página + o - matemática de Alberto. Correo: alberto@epsilones.com. En la red desde el 4-7-2002 (ya hace). Última actualización: ver Novedades.
Siguenos en Blogger
 

 

Con esto se termina la página:

El contenido de esta página requiere una versión más reciente de Adobe Flash Player.

Obtener Adobe Flash Player