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Teselados octogonales

En su novela El color de la magia, Terry Pratchett escribe: “El suelo era un mosaico interminable de losetas de ocho lados”.

La cuestión ahora es encontrar posibles formas para esas losetas de ocho lados. Para restringir el problema, vamos a obligar a que los ocho lados de las losetas tengan la misma longitud.

 

Solución

     

El color de la magia, 119.

► Bestiario: Teselados

 
 
 





SOLUCIÓN

German Zorba nos explica cómo conseguir toda una familia de soluciones a partir de hexágonos:

Primero elijo un teselado con hexágonos (dibujo 1). Los hexágonos deben tener un eje de simetría perpendicular a un lado para que se pueda hacer el resto de la construcción.


Dib. 1
Dib. 2

Para obtener esta simetría los ángulos del hexágono medirán 2A y 180-A (dibujo 2). A puede ser cualquier angulo, 0<A<90.

Luego agrego un chichón en uno de los lados perpendiculares al eje de simetría (dibujo 3) trazando lineas según un ángulo de medida B.


Dib. 3
Dib. 4

Nuevamente B puede ser cualquier ángulo 0<B<90 con la restricción adicional de que B<>A (porque si no el nuevo lado sería continuación del anterior).

Nunca dijimos cuál era la proporción entre los lados. La restricción de que los ocho lados deban ser iguales determina en este punto las longitudes.

Ahora hago un hueco debajo de la figura para que encaje el chichón de las otras teselas (dibujo 4), obteniendo los ángulos siguientes:

  • 2A
  • 180-A-B
  • 180+2B
  • 180-A-B
  • 2A
  • 180-A+B
  • 180-2B
  • 180-A+B

con 0<A<90, 0<B<90 y A<>B.

Ahora que miro los dibujos, veo que se pueden obtener otras teselas octogonales que producen teselados periódicos, por ejemplo ver el dibujo 5, en que que "di vuelta" la punta marcada con rojo (para esto es necesario que sea B<A) y que produce el teselado que se ve en el dibujo 6.


Dib. 5
Dib. 6

En este caso la tesela es simétrica porque elegí los angulos A y B complementarios (son los ángulos de un triángulo rectángulo de lados 3, 4 y 5, porque me resultaban más fáciles de dibujar en una retícula cuadrada), pero eligiendo otros ángulos podremos obtener una tesela totalmente asimétrica de ocho lados que produzca un teselados periódico.

¿Podrán elegirse teselas que produzcan teselados aperiódicos? Recuerdo que Penrose lo había logrado con dos teselas, pero no se si es posible lograrlo con una sola.

 
Comentarios
Epsilones. Página + o - matemática de Alberto. Correo: alberto@epsilones.com. En la red desde el 4-7-2002 (ya hace). Última actualización: ver Novedades.
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