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Números importantes

Dado un entero positivo N, las operaciones permitidas para obtener otro son:

  • Dividir N por 2 o por 3, si el resultado es un número entero.
  • Agregar un 0 o un 8 a la derecha de la cifra de las unidades de N.

Decimos que un número es importante si se puede obtener a partir del número 8 mediante una sucesión de operaciones permitidas.

¿Es cierto que todo entero positivo es importante?

 

Solución

     

Enviado por Luis Scoccola.

 
 
 





SOLUCIÓN

A continuación la solución del propio Luis Scoccola:

  1. Todo número natural puede "transformarse" en otro que termine en 8, es decir, que sea de la forma 8 (mod 10), mediante la repetición de las siguientes operaciones: multiplicar por 2, multiplicar por 3, dividir entre 10, y de tal modo que el número nunca se vea multiplicado por un factor mayor que 10. Para ello, según sea la cifra de las unidades del número, basta hacer lo siguiente:
    • Números terminados en 0: se divide por 10 y se trata de nuevo la última cifra.
    • Números terminados en 1: 1*2*2*2 = 8.
    • Números terminados en 2: 2*2*2 = 8.
    • Números terminados en 3: 3*3*2 = 8.
    • Números terminados en 4: 4*2 = 8.
    • Números terminados en 5: 5*2 = 0. Al número resultante se le aplica el primer caso.
    • Números terminados en 6: 6*2*2*2 = 8.
    • Números terminados en 7: 7*2*2=8.
    • Números terminados en 8: 8 = 8.
    • Números terminados en 9: 9*2 = 8.
  2. El siguiente paso es restar 8: en mod 8 quedaría 0, es decir, un múltiplo de 10.
  3. Se divide por 10, siendo 10 mayor a cualquier número por el que se haya multiplicado antes. Por ende este resultado será un número menor al anterior, lo cual implica que por más veces que se aplique este algoritmo nunca va a diverger. Siendo cada vez menor y siendo los números enteros positivos un conjunto numerable y no denso se puede afirmar que en algún momento la sucesión generada llegará a 8.
  4. Invirtiendo el proceso se tiene el algoritmo para llegar hasta el número elegido partiendo de 8.
 
Comentarios
Epsilones. Página + o - matemática de Alberto. Correo: alberto@epsilones.com. En la red desde el 4-7-2002 (ya hace). Última actualización: ver Novedades.
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