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El área de los usos cruzados

Se trata de calcular el área sombreada en gris más oscuro. Las líneas curvas son cuartos de circunferencia y la longitud del lado del cuadrado es de un metro.

Nota: se puede resolver con cálculo integral, claro, pero no sería deportivo.

 

Solución

     

 

 
 
 





SOLUCIÓN

Para calcular el área sombreada de la figura 1 calculamos primero el área de la pequeña región sombreada de la figura 2. El área buscada será la del cuadrado menos ocho de estas pequeñas áreas.

figura 1
figura 2

1. Simplificamos el dibujo y nos quedamos con un solo arco (figura derecha).

2. El triángulo ABC es equilátero. Por tanto α = 60º y, por tanto, β = 30º.

3. El área del sector ACE será por tanto: \(\dfrac{\pi· 1^2}{360}·30=\dfrac{\pi}{12}\) .

4. Del triángulo  ADC conocemos AC = 1 y CD = 1/2. Aplicando Pitágoras se obtiene \(AD=\dfrac{\sqrt3}{2}\).

5. El área del triángulo ADC será entonces: \(\dfrac{AD·DC}{2}=\dfrac{\dfrac{\sqrt3}{2}·\dfrac{1}{2}}{2}=\dfrac{\sqrt3}{8}\).

6. El área del rectángulo EFDC es, obviamente, 1/2, por lo que el área de la región curva  AEF es

\[\dfrac{1}{2}-\dfrac{\pi}{12}-\dfrac{\sqrt3}{8}\]

7. El área buscada es, entonces, el área del cuadrado menos ocho de estas áreas curvilíneas, es decir,

\[A=1-8\left(\dfrac{1}{2}-\dfrac{\pi}{12}-\dfrac{\sqrt3}{8}\right)\]

Simplificando:

\[A=\dfrac{2\pi}{3}+\sqrt3-3=0,8264\]

 
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