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El mismo cumpleaños

En una fiesta con treinta personas, ¿es fácil encontrar a dos con el mismo cumpleaños?

Sugiero al personal que conteste la pregunta aproximadamente, así como de cabeza, intuitivamente, y que después resuelva matemáticamente el siguiente problema:

¿Cuánta gente debe haber en una fiesta para que la probabilidad de que dos personas tengan el mismo cumpleaños sea superior al 50%.

 

Solución

     

Nota: para facilitar las cosas, podemos olvidarnos de los años bisiestos.

 
 
 





SOLUCIÓN

Sea el suceso A = {al menos dos personas tienen el mismo cumpleaños}.

Entonces, su suceso complementario será: Ā = {todos tienen cumpleaños distintos}

Si n es el número de asistentes a la fiesta, aplicando la regla de Laplace, se tiene que:

\[P(A)=1-P(\overline{A})=1-\dfrac{365·364·...·(365-n+1)}{365^n}=1-\dfrac{365!}{(365-n)!·365^n}\]

A partir de la fórmula calculamos la probabilidad para algunos valores de n:

n probabilidad
22 0.4756953052
23 0.5072972318
30 0.7063162448
50 0.9703735796
100 0.9999996927


Es decir: que si en la fiesta hay treinta personas, es fácil que dos tengan el mismo cumpleaños, pues la probabilidad es del 70%. Y que basta que haya 23 personas para que esta probabilidad sea superior al 50%.

Más asombroso aún es comprobar que con cincuenta personas esta probabilidad sube al 97% y con cien personas nos ponemos en un 99,99996927%.

Naturalmente, esta cuestión es muy diferente a calcular la probabilidad de que alguien tenga nuestro mismo cumpleaños.

 
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Epsilones. Página + o - matemática de Alberto. Correo: alberto@epsilones.com. En la red desde el 4-7-2002 (ya hace). Última actualización: ver Novedades.
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