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El problema de la vaca

Un herbívoro (en unas versiones es una vaca, en otras una cabra) está sujeto con una cuerda a un poste situado en el borde de un prado de forma circular. La cuestión es averiguar qué longitud debe tener la cuerda para que el susodicho herbívoro tenga acceso a la mitad del prado y pueda, por tanto, comerse la mitad de la hierba.

 

Solución

     

Es increíble que estas cosas tan simples se puedan complicar tanto...

 
 
 





SOLUCIÓN

Sea el prado la circunferencia de centro P y radio r. Sea O el punto donde está el poste al que se va a atar la vaca y R la longitud de la cuerda.

Se desprende de las figuras que:

\({\rm sen}\alpha=\dfrac{h}{r}\Rightarrow h=r·{\rm sen}\alpha\)

Área triángulo OPS = \(\dfrac{R·h}{2}=\dfrac{R·r·{\rm sen}\alpha}{2}\)

Área triángulo OQS = \(\dfrac{\pi R^2}{2\pi}\alpha=\dfrac{\alpha R^2}{2}\)

Área sector POS = \(\dfrac{\pi r^2}{2\pi}\beta=\dfrac{\beta R^2}{2}\)

Es obvio, además, que:

1) \(\beta=\pi-2\alpha\)

2) \({\rm cos}\alpha=\dfrac{R}{2r}\Rightarrow R= 2r·{\rm cos}\alpha\)

El área de la zona a la que tiene acceso la vaca es igual a dos veces el sector OQS, más dos veces el sector POS, menos dos veces el triángulo OPS (porque lo contamos dos veces al coger los sectores). Como queremos que sea la mitad del prado, tenemos la ecuación:

\(\dfrac{\pi r^2}{2}=2\dfrac{\alpha R^2}{2}+2\dfrac{\beta r^2}{2}-2\dfrac{R·r·{\rm sen}\alpha}{2}\)

Es decir:

3) \(\dfrac{\pi r^2}{2}=\alpha R^2+\beta r^2-R·r·{\rm sen}\alpha\)

Sustituyendo 1) y 2) en 3) tenemos:

\(\dfrac{\pi r^2}{2}=\alpha (2r·{\rm cos}\alpha)^2+(\pi-2\alpha) r^2-(2r·{\rm cos}\alpha)·r·{\rm sen}\alpha\)

\(\dfrac{\pi r^2}{2}=4\alpha r^2{\rm cos}^2\alpha+(\pi-2\alpha) r^2-2r^2·{\rm cos}\alpha·{\rm sen}\alpha\)

Dividiendo entre \(r^2\) y simplificando:

\(4\alpha{\rm cos}^2\alpha-{\rm sen}2\alpha+\dfrac{\pi}{2}-2\alpha=0\)

Con un poco de Derive tenemos que \(\alpha=a\) es::

Por tanto \(R=2·r·{\rm cos}(0,9528478646)\) y

R=1,158728473·r

 
Comentarios
Epsilones. Página + o - matemática de Alberto. Correo: alberto@epsilones.com. En la red desde el 4-7-2002 (ya hace). Última actualización: ver Novedades.
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