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Midiendo fractales

¿Cuál es la superficie del triángulo de Sierpinsky? ¿Cuál es la longitud del Copo de nieve de Koch?

 

Solución

     
Pista: todo lo que hay que conocer es algo acerca de las progresiones geométricas.  
 
 





SOLUCIÓN

Área del triángulo de Sierpinsky: en cada paso le quitamos a la figura un cuarto de su área, por lo que se reduce esta en un factor de \(\dfrac{3}{4}\). Tras n iteraciones, el área se habrá reducido en \(\left(\dfrac{3}{4}\right)^n\). Tomando límites: \(\displaystyle\lim_{n\to\infty} \left(\dfrac{3}{4}\right)^n=0\). Por tanto el triángulo tiene un área nula.

Longitud del copo de nieve de Koch: a cada paso aumentamos la lonhgitud en \(\dfrac{1}{3}\), por lo que esta aumenta en un factor de \(\dfrac{4}{3}\). Siendo n el número de iteraciones y tomando límites, se tiene: \(\displaystyle\lim_{n\to\infty} \left(\dfrac{4}{3}\right)^n=\infty\). El copo de nieve tiene por tanto longitud infinita.

► Una variante curiosa puede verse en paradojas: Copos microscópicos (0 = 1).


La infinitud del copo de nieve

Fernando hace la siguiente pregunta:

"Supongamos que se materializa un copo de estos y lo encerramos en una simple cajita de madera: ¿hasta donde llega su infinitud?"

Como tantos otros objetos matemáticos, este no podría materializarse. Pensemos en fabricarlo con alambre. En vez de hacerlo directamente, podemos ir probando a construir modelos sucesivos cada vez más rugosos según el patrón mostrado en la figura de la derecha. Los primeros pasos no nos darían problemas, pero pronto el grosor del alambre nos impediría generar más picos en la curva. Podríamos resolver de momento el problema utilizando un alambre más fino, pero en seguida volvería a resultar demasiado grueso. La conclusión es que para poder materializar el copo de Koch necesitaríamos un alambre sin anchura, cosa que, por lo que sabemos, es imposible de conseguir en el mundo físico. En cualquier caso es un alivio, porque si pudiésemos conseguir un alambre sin anchura pero con masa, al ser la longitud del copo infinita, su masa también sería infinita.

De todas formas, vamos a suponer que es posible construirlo. Y también que hemos sido capaces de ensartar una pequeña perla en la curva, perla que debe reducirse en realidad a un punto por lo dicho. En este caso, si desplazásemos la perla a lo largo del alambre, descubriríamos que para llevarla de un punto a otro del alamabre necesitaríamos un tiempo infinito.

 
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Epsilones. Página + o - matemática de Alberto. Correo: alberto@epsilones.com. En la red desde el 4-7-2002 (ya hace). Última actualización: ver Novedades.
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