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1 = 0,99999999999999999999999999999999999999....

Se trata de demostrar la igualdad \(1=0,\overline{9}\) (la barra que hay encima del nueve indica que esta cifra se repite hasta el infinito). Vamos, que cero coma nueve periodo es igual a uno.

 

Solución

     
Nano manda esta cuestión: él ya conoce la demostración que se da en secundaria, pero pide otra que sirva para zanjar una discusión académica.  
 
 





SOLUCIÓN

1. Primero, la de secundaria, que no creo necesite más explicaciones:

Sea \(x=0,\overline{9}\)

Multiplicando por 10 para saltar el periodo, \(10x=9,\overline{9}\)

Restando las dos últimas igualdades: \(9x=9\)

Así, x = 1 y, por tanto, \(0,\overline{9}=1\).

2. Esta otra demostración tiene de interesante que muestra cómo se pueden entender los desarrollos decimales infinitos como sumas infinitas:

Sea la sucesión de término general \(a_n=0,9·0,1^{n-1}\), que es una progresión geométrica de razón 0,1 cuyos primero términos son 0,9, 0,09, 0,009, 0,0009...

Entonces podemos escribir: \(0,\overline{9}=\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}a_n\).

Se sabe que la suma infinita de una serie geómetrica de razón menor que uno se obtiene mediante la fórmula \(\dfrac{a_1}{1-r}\), donde r es la razón de la progresión. Aplicándola a nuestro caso, \(0,\overline{9}=\dfrac{0,9}{1-0,1}=1\).

To Inifnity and Beyond, p.32.

 
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Epsilones. Página + o - matemática de Alberto. Correo: alberto@epsilones.com. En la red desde el 4-7-2002 (ya hace). Última actualización: ver Novedades.
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