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Las fichas y el florero

Disponemos de infinitas fichas numeradas. A las doce menos un minuto metemos en un florero las fichas que van de la 1 a la 10 y sacamos la 1. Medio minuto antes de las doce metemos de la 11 a la 20 y sacamos la 2. Un tercio de minuto antes de las doce metemos de la 21 a la 30 y sacamos la 3. Y así sucesivamente. ¿Cuántas fichas habrá a las doce en punto en el florero?

 

Solución

     

Nuevos pasatiempos matemáticos, p.163.

Paradojas de numerabilidad.

 
 
 





SOLUCIÓN

Pues ninguna. El razonamiento es el siguiente: pensemos en una ficha en concreto, por ejemplo la 1246. ¿Estará en florero a las doce en punto? No, pues 1/1246 de minuto antes de las doce la sacamos del florero.

Esto mismo nos lo podemos preguntar para cualquiera de nuestras infinitas fichas numeradas. ¿Estará la ficha marcada con el número n? No, no estará, porque la habremos sacado cuando faltaba 1/n de minuto para las doce.

Conclusión: el florero se queda vacío. Las cosas del infinito.

***

David tiene algunas dudas acerca de la solución y, como no me ha dejado una dirección de correo para contestarle, lo hago aquí:

  1. Por lo que entiendo, de que hay fichas en todo momento previo tú quieres concluir que hay fichas a las 12:00, pero eso no tiene por qué ser así: imagínate otro caso: tenemos sesenta fichas a las 11:59 y sacamos una cada segundo. ¿Habrá fichas en cada segundo previo a las 12:00? Sí. ¿Habrá fichas a las 12:00? No.
  2. Cambiar las fracciones de minuto por días cambia completamente el problema, porque pasamos de un tiempo finito (un minuto) a uno infinito (infinitos días). En tu planteamiento, siempre hay fichas en el florero: sea el día que sea, hemos metido fichas, luego el florero no está vacío. Solo podríamos hablar de un florero vacío pasado un tiempo infinito, pero esto no tiene sentido: una cosa es que supongamos que el tiempo no tenga fin y otra que pensemos qué ha pasado una infinidad de tiempo.
  3. El razonamiento de la solución del problema no es ni una extrapolación ni una inducción: si acaso, se trata de una demostración por reducción al absurdo. Supongamos que queda alguna ficha en el florero: bien, te diría, dime el número de una de ellas. La n. Bien, pues no es cierto que la ficha n esté en el florero, porque la sacamos 1/n de minuto antes de las doce.
  4. Lo que sí es cuestionable no es el argumento, sino el propio planteamiento, pues se basa en la infinita divisibilidad del tiempo, lo cual desde el punto de vista físico puede no ser posible. Sin embargo, una de las ventajas de las matemáticas es que podemos imaginarnos lo que nos dé la gana y plantearnos cuestiones como esta.
  5. Confundes el infinito con un número natural, pero no lo es. La expresión \(\dfrac{1}{\infty}\) no tiene sentido como número, solo como límite. Por eso la biyección que planteas no es en realidad una biyección, sino un ocurrente juego de palabras. ¿Qué ficha es esa que etiquetas como \(\infty + 1\)? No existe esa ficha. Existe cualquier ficha etiquetada con el número natural que quiera imaginar, pero ninguna lleva el \(\infty\) puesto. Naturalmente que hay fichas en el florero en cada instante previo a las doce. Solo a las doce se han producido las infinitas operaciones que dan lugar a la paradoja.
  6. Si entrar en detalles técnicos, cuando hablamos en el contexto de los números naturales, hablar del infinito es hablar de algo que no tiene fin. Cuando decimos que un proceso se repite hasta el infinito no quiere decir que lo repitamos hasta que lleguemos al infinito, sino que no se deja de hacer para ningún número natural. ¿Sabes algo de límites? Cuando decimos que el límite de la sucesión \(a_n=\dfrac{1}{n}\) es cero no queremos decir que \(\dfrac{1}{\infty}=0\), sino que los números \(\dfrac{1}{n}\), a medida que n se hace grande, se acercan a cero todo lo que queramos.

Seguimos:

  1. Con el ejemplo finito quería mostrar que no podemos inferir de lo que pase antes de un cierto lo que pasará en ese instante, pero veo que no lo he conseguido.
  2. La importancia estriba en que podemos hablar de lo que ocurrirá en el instante 12:00, pero no de lo que ocurrirá en el instante infinito, sencillamente porque ese instante temporal no existe.  
  3. No se extrapola a la ficha infinita porque no hay ficha infinita. Lo que se hace es demostrar que cualquier ficha finita en la que pensemos no está en el florero a las doce. ¿Hemos sacado la ficha 10? Sí, hemos sacado la ficha \(2^100000\)? Sí. ¿Hemos sacado la ficha n, siendo n un número natural cualquiera? Sí. ¿Hemos sacado la ficha infinita? No, porque no existe esa ficha.
    Como ya te he dicho, tampoco estamos haciendo ninguna inducción (quizá aquí radique tu confusión). No suponemos algo sobre la ficha n para demostrar algo de la ficha n+1. Probamos directamente que cada ficha n ha sido sacada del florero.
    La inducción que me parece propones puede demostrar que tras cada paso n en el florero nos quedan 9n fichas: perfecto. Pero eso no nos dice nada de lo que pasará a las doce, solo de lo que pasará en cada instante previo a las doce, mientras que el argumento de las fichas sacadas sí habla de lo que pasará a las doce.
    Visto desde las doce, con tu argumento, en un instante previo dado, podemos decir que había un cierto número de fichas, de acuerdo, pero no sabemos qué pasará con ellas después. Sin embargo, con el argumento de las fichas sacadas, sabemos cuándo se saco cada ficha en particular. Podemos asegurar que cuando faltaban \(\dfrac{1}{12}\) de minuto metimos diez nuevas fichas en el florero, y que había 99 fichas más de antes; pero, ¿puedes asegurar que alguna de ellas va a seguir ahí? No, no lo sabes. Sin embargo, lo que sí podemos asegurar es que en ese instante sacamos la ficha 12 y que esa ficha no va a volver a entrar en el florero.
  4. Vale.
  5. Claro que no existe el paso infinito. No creo haber hablado de ningún paso infinito, pero todo es posible: la edad no perdona.
  6. No pretendía ofender, pero me extrañó que hicieses esa biyección entre \(\dfrac{1}{\infty}\) e \(\infty+1\).

Voy a probar con otro ejemplo. Estamos de acuerdo en que los números pares son biyectables con los naturales, ¿no? Bien: imaginemos que alguien, cuando queda \(\dfrac{1}{1}\) de minuto para las 12 escribe un 1; y cuando falta \(\dfrac{1}{2}\) escribe un 2; y que cuando falta \(\dfrac{1}{n}\) de minuto escribe el número n y así sucesivamente. Otro alguien decide fastidiarle el invento y se dedica a borrarle los números de la siguiente manera: cuando falta \(\dfrac{1}{2}\) de minuto, borra el 1. Cuando falta \(\dfrac{1}{4}\) de minuto, borra el 2. Cuando falta \(\dfrac{1}{2n}\) de minuto, borra el número n. Y así sucesivamente. ¿Cuántos números quedarán escritos a las doce? Evidentemente ninguno, porque el cardinal de los instantes pares (2n) (cuando se borra) es el mismo que el de los instante naturales (n) (cuando se escribe).

Espero haberme explicado mejor.

***

17-5 16:45

No, David, a las doce no se produce ningún paso, todos los pasos son previos a las doce. A las doce en punto no sacamos ni metemos ninguna ficha en el florero. Eso solo lo hacemos cuando falta 1/n de minuto para todo n, pero no a las doce. A las doce nadie ha dicho que se haga nada. Esa es la cuestión. No hay un paso infinito. No hay ningún paso que sea el último. Tras cada paso siempre hay una cantidad infinita de pasos. Tras cada número natural siempre hay una cantidad infinita de números naturales. Los instantes de los que hablo, esos que se produce a las doce menos 1/n, siempre son previos a las doce, sencillamente porque falta 1/n para las doce, luego ninguno de esos pasos se produce a las doce.

17-5 17:36

David: me rindo. Si nada de lo que he escrito antes te parecen contragumentos, no sé qué más decirte. En cualquier caso, si alguien cree que puede aportar algo a este asunto, estaré encantado de publicarlo por aquí. Más aún: voy a abrir una entrada en blog de Epsilones para que, si quieres, expongas allí tu duda y así ver si alguien es capaz de resolvértela. Aquí va la dirección: Delta: las fichas y el florero.

 
Comentarios
Epsilones. Página + o - matemática de Alberto. Correo: alberto@epsilones.com. En la red desde el 4-7-2002 (ya hace). Última actualización: ver Novedades.
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