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La fuente y las jarras

Nos encontramos frente a una fuente y disponemos de dos jarras de 3 y 5 litros.¿Cómo podemos conseguir exactamente cuatro litros de agua sin utilizar ningún otro recipiente?

 

Solución

     
Según W.W. Rouse Ball, este tipo de problemas llevan apareciendo en las colecciones de problemas desde la Edad Media. Y solo se pueden resolver probando. Mathematical recreations and Essays, p.27.  
 
 





SOLUCIÓN

Hay muchas posibilidades. Aquí va una de ellas. Por claridad, vamos a llamar J3 a la jarra de tres litros y J5 a la de 5 litros.

  1. Llenamos J5.
  2. Llenamos J3 con 3 litros de J5.
  3. Vacíamos J3.
  4. Echamos en J3 los 2 litros que quedaban en J5.
  5. Llenamos J5.
  6. Echamos en J3 1 litro de J5 (es decir, hasta que J3 se llene) ==> En J5 quedan 4 litros / desperdicio de agua: 6 l.

Si tienes una solución mejor, mándamela. Y piensa que cuando se dice "mejor" podemos referirnos a dos cosas distintas: menor número de pasos o menor consumo de agua.


Otra solución es la que manda Paula Fernández Cándano:

  1. Llenamos j3.
  2. Con j3 llenamos j5.
  3. Llenamos j3.
  4. Con j3 llenamos j5 y nos sobrará un litro.
  5. Tiramos contenido j5.
  6. Llenamos j5 con el litro sobrante de j3.
  7. Llenamos j3.
  8. Llenamos j5 con j3 ==> total contenido 4 litros / desperdicio de agua: 5 litros

Más pasos, pero ahorramos agua. ¡Estupendo!


A Lorena le extrañó el comentario de Rouse Ball de que estos problemas "solo se pueden resolver probando", razón por la que escribió lo siguiente:

"Se me ocurre una forma de resolver cualquier problema de este tipo con un procedimiento riguroso (aunque no demasiado directo). La idea es representar la situación en un grafo, donde cada nodo represente un posible estado de las jarras, es decir, los nodos representan pares (n3, n5), donde n3=0,1,2,3 (posible contenido de la jarra de 3 litros) y n5=0,1,2,3,4,5 (posible contenido de la jarra de 5 litros). En este caso, se tienen 24 nodos. El arco dirigido v1 -> v2 estará en el grafo si de la situación representada por el nodo v1 se puede pasar a la situación representada por el nodo v2 en una sola operación (ejemplos de operación : vaciar una jarra a la juente, volcar todo el contenido de una en otra, llenar una tomadno agua de la fuente, etc...). Por ejemplo, estarán en el grafo los arcos: (0,0)-> (0,5), (0,0)->(3,0), (3,0)->(3,5), etc, pero no estarán arcos como: (0,0)->(1,0), (3,5)->(2,5), (0,0)->(3,5).

"Luego el problema se reduce a encontrar un camino en el grafo desde el nodo (0,0) al nodo (0,4). Existen algoritmos muy conocidos para encontrar un camino entre dos nodos de un grafo. Algoritmos determinísticos, por lo que se puede encontrar el camino sin necesidad de "probar".

"Por supuesto, este procedimiento es generalizable a cualquier cantidad de jarras, de cualquier capacidad, para obtener una dada cantidad de líquido...

"¿Te parece?"

***

Mi contestación:

"Tu solución general al problema de las jarras me parece perfecta. Y la discrepancia con el comentario de Rouse Ball creo que no es más que aparente. Supongo, y digo supongo porque en su texto no da más explicaciones, que cuando habla de trial (que yo he traducido por probar), no excluye que la búsqueda se pueda sistematizar y convertir por tanto en un algoritmo.

"Te pondré un ejemplo: si dada una figura queremos encontrar otra congruente con ella de entre las contenidas en un saco, podemos hacerlo con el siguiente algoritmo: se coge una figura de la bolsa y se compara con la inicial. Si coincide, hemos terminado, y si no, apartamos la figura no coincidente y probamos con la siguiente. Con este ejemplo algo simplista pretendo mostrar que un algoritmo puede consistir en probar."


Olga envía esta otra solución: "Introducimos j3 en j5 y rellenamos el espacio entre ambas. Obtenemos 2 litros que depositamos en j3. Repetimos el proceso y obtenemos 2 litros más en j5. Vaciamos j3 en j5 y...tenemos 4 litros sin desperdiciar nada de agua... ¿no?"

Esta solución me parece elegante e imaginativa. Y sería perfecta si no fuese porque hace dos suposiciones que no son necesariamente ciertas. Una es que la jarra pequeña se puede introducir en la grande. La otra, que las paredes de la jarra pequeña no ocupan volumen.

 
Comentarios
Epsilones. Página + o - matemática de Alberto. Correo: alberto@epsilones.com. En la red desde el 4-7-2002 (ya hace). Última actualización: ver Novedades.
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