Epsilones
Problemas
Siguenos en Blogger

 ◄
► 
Siguiente
   

Primos entre sí

Se trata de demostrar que si se escogen n + 1 enteros menores o iguales que 2n, al menos dos de ellos son primos entre sí (por ejemplo, si escogemos 7 = 6+1 enteros menores o iguales que 12 = 2·6).

 

Solución

     
Según se cuenta en The Man Who Love Only Numbers, Erdös se lo planteó a un joven genio de doce años que lo resolvió mientras se tomaba la sopa.  
 
 





SOLUCIÓN

La solución se basa en dos hechos que por separado son casi triviales: si se escogen n + 1 enteros menores o iguales que 2n resulta que al menos dos de ellos deben ser consecutivos. Por otra parte, dos enteros consecutivos siempre son primos entre sí.

1. Dos números consecutivos son siempre primos entre sí.

  • Sean m y m+1 dos números naturales consecutivos.
  • Supongamos que no son primos entre sí: entonces existe un número \(r\in N,\ r\neq1\), factor común de m y m+1, y dos números a y b N tales que m = r·a; m + 1= r·b.
  • Despejando a y b, tenemos que \(a=\dfrac {m}{r}; \ b=\dfrac {m+1}{r}=\dfrac {m}{r}+\dfrac {1}{r}\).
  • Se observa que \(b=a+\dfrac {1}{r}\) . Pero como r ≠1 y \(a\in N, \ a+\dfrac{1}{r}\), no es natural, lo que contradice que \(b\in N\).
  • Por ello, m y m+ 1 son siempre primos entre sí.

2. Tomando n + 1 números menores o iguales que 2n, al menos dos de ellos se diferencian en una unidad.

  • Escogemos la mitad más 1 de los elementos que componen el conjunto, por lo que, en el caso más desfavorable, dos de ellos son consecutivos.
 
Comentarios
Epsilones. Página + o - matemática de Alberto. Correo: alberto@epsilones.com. En la red desde el 4-7-2002 (ya hace). Última actualización: ver Novedades.
Siguenos en Blogger
 

 

Con esto se termina la página:

El contenido de esta página requiere una versión más reciente de Adobe Flash Player.

Obtener Adobe Flash Player