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La reflexiva sobra

Una relación de equivalencia es aquella que cumple las propiedades reflexiva, simétrica y transitiva. Sin embargo...

Sea R una relación que cumple las propiedades simétrica y transitiva.

Por cumplir R la propiedad simétrica, dados a y b tales que aRb, entonces bRa.

Como aRb y bRa y dado que R es transitiva, aRa. Es decir, R es reflexiva.

Hemos demostrado que simetría + transitividad implican reflexividad, lo cual nos permite sacar la reflexividad de la definición de relación de equivalencia, ¿no?

 
 

Fue Lorenzo el que me planteó la cuestión.

 
Solución:

Pues no, claro que no sobra. Lo que pasa es que en la presunta demostración hay un error. Vamos a repetirla para ver dónde:

Si aRb entonces, por la simétrica, bRa.

Como aRb y bRa, por la transitiva, aRa. Pero esto solo es cierto, y por eso he subrayado el "si" condicional de la línea anterior, si dado a existe un b tal que aRb. Pero si a es un elemento que no está relacionado con ningún otro, entonces la simetría y la transitividad no nos pueden asegurar que aRa, y por tanto no podemos afirmar la reflexividad de R.

En cualquier caso, no deja de ser interesante observar que la simetría y la transitividad más la condición de que cada elemento esté relacionado con al menos un elemento del conjunto (puede ser él mismo o no) implican la reflexividad.

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Epsilones. Página + o - matemática de Alberto. Correo: alberto@epsilones.com. En la red desde el 4-7-2002 (ya hace). Última actualización: ver Novedades.
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