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do
528
2/1



16/15
si
495
15/8



9/8
la
440
5/3



10/9
sol
396
3/2



9/8
fa
352
4/3



16/15
mi
330
5/4



10/9
re
297
9/8



9/8
do
264
1/1

 

 

Escala bien temperada

Según se cuenta en Historias matemáticas, Pitágoras encontró que la longitud de las cuerdas que producían sonidos armonicos mantenían relaciones numéricas simples entre sí. Esto mismo se puede ver en las frecuencias correspondientes a los sonidos de la escala de do mayor, indicadas en la segunda columna de la tabla, y las razones correspondientes a cada frecuencia respecto de la frecuencia del do bajo (264).

En la columna derecha están escritos los factores por los que hay que multiplicar una frecuencia para obtener la superior. Por un lado tenemos dos factores bastante parecidos, 9/8 y 10/9, y otro bastante más pequeño, 16/15. A los dos grandes se les llama tonos y al pequeño, semitono. De este modo, los intervalos (distancia entre notas) de la escala de do mayor serían tono-tono-semitono-tono-tono-tono-semitono.

Hasta aquí está todo muy bien, pero tenemos un problema, la afinación de ciertos instrumentos, como los teclados. Puede ser que se quiera interpretar una composición en una escala distinta, por ejemplo para hacerla más aguda y adaptarla a la tesitura de un cantante particular. Empecemos en re en vez de en do: el primer paso no da demasiados inconvenientes: aunque el paso de re a mi tiene un factor de 9/8 en vez de los 10/9 del paso de do a re, la diferencia puede asumirse. Lo malo viene cuando queremos dar el siguiente salto, que también debe ser de un tono completo. Pero es que detrás de mi va fa, un semitono, con lo cual deberemos juntar dos semitonos. Pero eso implica realizar la multiplicación (16/15)·(16/15) = 256/225 = 1,138, valor muy alejados de los tonos disponibles, 9/8 = 1,125 o 10/9 = 1,111.

La solución adoptada, que Bach se encargaría de universalizar, fue de compromiso: hagamos que todos los semitonos sean iguales. Sabemos que para pasar de una nota a su octava superior hay que multiplicar la frecuencia por dos. Si queremos consegir lo mismo pero con doce saltos, es decir, con doce semitonos, la frecuencia x correspondiente a cada semitono, se obtendrá de la ecuación: x12 = 2, que nos da para x el valor: \(\sqrt[12]{2}=1,059\).

A esta nueva escala artificalmente construida se le llama escala bien temperada.

 

 
         
  e: The Story of a Number, p.129 y ss.

 
 
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Epsilones. Página + o - matemática de Alberto. Correo: alberto@epsilones.com. En la red desde el 4-7-2002 (ya hace). Última actualización: ver Novedades.
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