Epsilones
Laboratorio
Siguenos en Blogger

 ◄
► 
Siguiente

El teorema de Pitágoras con papel y tijeras (o Cabri)

Como indica el título, esta práctica trata de demostrar el teorema de Pitágoras recortando papel, aunque empezaremos con una demostración de tipo algebraico para ver la diferencia de planteamiento. En cualquier caso, lo que debemos demostrar es siempre lo mismo, a saber, que el área del cuadrado construido sobre la hipotenusa de un triángulo rectángulo es igual a la suma de las áreas de los dos cuadrados construidos sobre los catetos. De otra manera: que c2 = a2 + b2.

 

 

1. Chou pei suan ching

Unos dicen que la siguiente demostración es del Chou pei suan ching, texto chino de difícil datación (por decir algo podemos ubicarlo en el siglo IV a.n.e.), aunque otros se la adjudican al matemático indio Bhaskara. La idea es sencilla: se expresa el área del cuadrado de lado c como el área del cuadrado de lado a-b (el pequeño) más cuatro triángulos rectángulos de catetos a y b, se hacen unas breves cuentas, y listo:

\[c^2=(a-b)^2+4\left(\dfrac{ab}{2}\right)\]

\[c^2=a^2+b^2-2ab+2ab\]

\[c^2=a^2+b^2\]

2. Arya-Bhata

Una demostración sencilla se debe al matemático indio Arya-Bhata, nacido en el 466 (se cree que las demostración pitagórica sería parecida a esta). A dos cuadrados de lado a + b les quitamos cuatro triángulos rectángulos de catetos a y b de los dos modos indicados, con lo que se demuestra que el área de los dos cuadrados pequeños (de lados a y b) es igual al área del cuadrado grande (de lado c). Se puede hacer lo mismo recortando los cuatro triángulos y colocándolos de las dos maneras sobre un cuadrado de lado a + b.

3. Perigal I

Henry Perigal ideó esta magnífica demostración en 1830, aunque no la publicó hasta 1873. Su característica principal es que podemos construir el cuadrado correspondiente a la hipotenusa a base de piezas de los dos pequeños. El corte se da en la mitad del exceso del lado del cuadrado grande sobre el pequeño. Obsérvese que las dos líneas de corte del cuadrado mediano pasan por el centro y que una de ellas es paralela a la hipotenusa, mientras que la otra es perpendicular. Si a uno le dan las piezas antes de haber visto el diagrama no resulta fácil componer el cuadrado grande.

Un caso interesante es el que se da cuando el triángulo, además de rectángulo, es isosceles.

4. Perigal II

También de Perigal, quizá esta sea la mejor demostración, pues en ella nada sobra. Se colocan juntos dos cuadrados, uno de lado a y otro de lado b, y se dibujan como se ve en la figura de la izquierda dos triángulos rectángulos de catetos a y b. Se recortan, se colocan como en la figura de la derecha y se consigue un cuadrado de lado igual a la hipotenusa de los dos triángulos. Perfecto.

5. GeoGebra

Para los que conozcan el programa GeoGebra puede ser interesante realizar con él las últimas tres construcciones de modo que se mantengan al modificar las longitudes de los catetos. Como ejemplo, incluyo la primera demostración de Perigal convertida en un sencillo pero revelador puzzle de cinco piezas.


Archivo GeoGebra 

Bibliografía

 
Comentarios
Epsilones. Página + o - matemática de Alberto. Correo: alberto@epsilones.com. En la red desde el 4-7-2002 (ya hace). Última actualización: ver Novedades.
Siguenos en Blogger
 

 

Con esto se termina la página:

El contenido de esta página requiere una versión más reciente de Adobe Flash Player.

Obtener Adobe Flash Player