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Sección, rectángulo y espiral áureos

"Una recta está dividida en extrema y media razón cuando la recta es al segmento mayor lo que éste es al menor."

Los Elementos, libro II, proposición 11. Euclides.

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Así define Euclides lo que hoy conocemos por sección áurea, objeto de gran sencillez matemática y que, sin embargo, ha interpretado un importante papel en el arte y en el concepto que de la belleza se ha tenido en distintas épocas.

En esta práctica vamos a construir algunos objetos geométricos relacionados con la sección áurea utilizando únicamente regla y compás, al viejo estilo, aunque primero vamos a obtener algebraicamente el valor de φ, que es la letra que se usa para designar a la sección áurea.

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Sección áurea

Supongamos un segmento, que por comodidad consideramos de longitud 1, dividido en dos partes. Vamos a calcular qué valor debe tener x para que sea la sección áurea del segmento:

Según la definición de Euclides, se tiene:

\[\dfrac{1}{x}=\dfrac{x}{1-x}\]

\[1-x=x^2\]

\[x^2+x-1=0\]

Resolviendo la ecuación se obtiene: \(x=\dfrac{\sqrt5-1}{2}\).

Como la razón áurea es el cociente entre la longitud del segmento y el valor de x, tenemos: \(\phi=\dfrac{1}{x}=\dfrac{\sqrt5+1}{2}\)..

(Este valor se puede obtener directamente resolviendo la ecuación \(x^2-x-1=0\)).

Rectángulo áureo

Pasemos a la regla y el compás y supongamos que partimos del segmento DA.
  1. Prolongamos el segmento DA hacia la derecha.
  2. Trazamos el cuadrado ABCD.
  3. Hallamos M, el punto medio del segmento DA.
  4. Pinchando el compás en M llevamos la distancia MB hasta cortar al segmento horizontal. Obtenemos E.
  5. Completamos el rectángulo CDEF.

¿Qué hemos obtenido?

  1. Para empezar, los segmento DA y AE están en proporción áurea.
  2. Como DC = DA, la base y la altura del rectángulo CDEF también lo están. A esto se le llama rectángulo áureo.
  3. El rectángulo AEFB también es áureo. Precisamente esta es una de las características fundamentales de un triángulo áureo: se puede descomponer en un cuadrado (ABCD) y otro rectángulo áureo (AEFB). Dicho de otro modo: los rectángulos aureos son auto-reproductivos.

¿Serías capaz de probar todo lo anterior?

Espiral áurea

¿Por qué es tan importante la sección áurea en el arte? Es una pregunta difícil y no exenta de polémica (ver La sección áurea y la Gran Pirámide de Gizeh), pero no cabe duda de que la auto-reproductividad vista en la construcción anterior permite joyas como El Partenón, en las que la sección áurea proporciona un factor unificador para las medidas de los distintos elementos arquitectónicos y la consiguiente sensación de armonía.

Un ejemplo matemático de lo anterior puede ser la espiral áurea, curva compuesta por una sucesión de cuartos de circunferencia tangentes a cuadrados cuyos lados están en razón áurea.

La construcción es muy sencilla:

  1. Dibujamos un rectángulo áureo según el método explicado antes. Lo tendremos pues descompuesto en un cuadrado y otro rectángulo más pequeño (que sabemos que es a su vez áureo).
  2. En el cuadrado dibujamos circunscrito un cuarto de circunferencia.
  3. Dividimos el segundo rectángulo áureo en un cuadrado y un rectángulo (basta llevar con el compás el lado más extrecho del triángulo sobre el mayor para tener la longitud del lado del cuadrado).
  4. En el nuevo cuadrado dibujamos circunscrito un cuarto de circunferencia de modo que empiece donde terminó el trozo de circunferencia del punto 2.
  5. Se repite el proceso indefinidamente.

Este es un Applet de Java creado con GeoGebra desde www.geogebra.org – Java no parece estar instalado Java en el equipo. Se aconseja dirigirse a www.java.com

En muchos lugares aparece esta espiral al lado de alguna fotografía de concha de nautilus para que las comparemos. Lo cierto es que si las comparamos con cuidado veremos que son distintas pues, aunque se parecen, la espiral utilizada por muchas especies de moluscos no es esta espiral sino otra, aquella a la que Jacques Bernoulli llamó spira mirabilis, de la cual hay mucho, mucho que decir.


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Bibliografía

 
Comentarios
Epsilones. Página + o - matemática de Alberto. Correo: alberto@epsilones.com. En la red desde el 4-7-2002 (ya hace). Última actualización: ver Novedades.
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