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Curvas con ordenador

Si hay algo fascinante en matemáticas es dibujar curvas. Y más hoy en día cuando transformar ecuaciones en imágenes es cuestión de apretar un botón: gracias a programas como Agrapher, Derive, Maple, Mathematica, GeoGebra o muchos otros uno puede experimentar con las ecuaciones, modificar sus parámetros, sus exponentes y coeficientes, quitar y poner términos o combinar funciones para “ver lo que sale”.

Pues esto precisamente es lo que sugiere esta práctica: jugar a dibujar todo tipo de curvas alterando las expresiones que las describen. Veamos qué se necesita:

  1. Un programa de representación gráfica. Yo voy a dar los ejemplos escritos en Maple, pero con cualquier otro programa vale.
  2. Una breve introducción acerca de los tres sistemas de coordenadas que aquí se van a usar: cartesiano, polar y paramétrico. Precisamente eso es lo que se cuenta en La invención de los sistemas de coordenadas.
  3. Y, sobre todo, algunas ecuaciones para empezar: puede encontrtar unas cuantas en curvas.

Una vez situados, veamos ejemplos de los distintos tipos de ecuaciones y de las instrucciones Maple necesarias para representarlas. En total son seis ejemplos, uno en cartesianas y otro en polares para tres tipos de ecuaciones: implícita, explícita y paramétricas.

Ecuación implícita:

Expresa una relación entre las coordenadas de cada punto de la curva.

Coordenadas cartesianas: la elipse tiene por ecuación \(\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1\), donde a y b dan la medida de los semiejes mayor y menor respectivamente. Cambiando sus valores obtendremos elipses más o menos excéntricas.

> restart:with(plots):

a:=2:

b:=1:

implicitplot(x^2/a^2+y^2/b^2=1,x=-2*a..2*a,y=-2*b..2*b);

Coordenadas polares: un buen ejemplo es la curva llamada lemniscata, que tiene por ecuación \(r^2=a·{\rm cos}(b\theta)\). El parámetro a controla el tamaño de la curva. Mucho más interesante es el parámetro b, que da el número de "hojas" de la gráfica.

> restart: with(plots):

a:=1:

b:=2:

implicitplot(r^2=a*cos(b*theta),r=0..5,theta=0..2*Pi,coords=polar);

Ecuación explícita

En algunos casos, cuando para cada valor de una de las variables existe un único valor de la otra, esta última se puede despejar, de modo que queda expresada explícitamente en función de la primera.

Coordenadas cartesianas: la parábola puede escribirse como \(y=\dfrac{1}{2p}x^2\), donde p es distancia entre el foco y la directriz.

> restart:with(plots):

p:=1:

y:=(1/2*p)*x^2;

plot(y,x=-3..3);

Coordenadas polares: la espiral logarítmica tiene en polares una ecuación elegantísima: \(r=a·e^{b\theta}\) . El parámetro a controla el tamaño de la curva, mientras que b regula la amplitud de la espiral.

> restart:with(plots):

r:=a*exp(b*theta):

a:=2:

b:=0.2:

plot([r,theta,theta=0..6*Pi],coords=polar);

Ecuaciones paramétricas

Proporcionan las coordenadas cartesianas o las polares en función de la coordenada paramétrica de la curva. Cualquier ecuación explícita se puede pasar a paramétricas de modo trivial convirtiendo la variable independiente en parámetro.

No hay que confundir los parámetros con la coordenada paramétrica. Los primeros son valores que distinguen las distintas curvas de una misma familia (por ejemplo, dentro de la familia de las circunferencias, un parámetro sería el radio de cada circunferencia, de modo que para cada valor del parámetro se obtiene una circunferencia distinta). Por otro lado, la coordenada paramétrica representa a la curva respecto de un sistema de coordenadas paramétrico y por cada uno de sus valores se tiene un punto de la curva.

Coordenadas cartesianas: las ecuaciones de la cicloide son \(\left\{\begin{array}{l} x=t-b·{\rm sen\left(\dfrac{t}{a}\right)}\\y=b-b·{\rm cos\left(\dfrac{t}{a}\right)}\end{array}\right.\). Los parámetros a y b controlan el número de ciclos y su amplitud.

> restart:with(plots):

x:=t-b*sin(t/a):

y:=b-b*cos(t/a):

a:=1:b:=1:

plot([x, y, t=0..6*Pi]);

Coordenadas polares: también podemos expresar paramétricamente las coordenadas polares. Como ejemplo, la cardioide: \(\left\{\begin{array}{l} r=a(1+cos(t))\\y=t\end{array}\right.\). El valor de a controla el tamaño de la curva.

> restart:with(plots):

x:=a*(1+cos(t)):

y:=t:

a:=1:

plot([x, y, t=0..4*Pi],coords=polar);

¿Y ahora?

Pues se trata de combinar las ecuaciones, de cambiar los parámetros, de probar con otras funciones, de buscar ecuaciones por ahí en libros o en la red o en la sección de curvas de Epsilones ...

Por ejemplo, uno se puede preguntar qué le pasaría a la conocida gráfica del seno si la x se sustituyese por su inversa:.

> restart:with(plots):

y:=sin(1/x) :

plot(y, x=-Pi/8..Pi/8);

O si multiplicásemos el seno por el cuadrado de x:

> restart:with(plots):

y:=x^2*sin(x);

plot(y, x=-15*Pi..15*Pi);

O si combinásemos las dos cosas:

> restart:with(plots):

y:=x^2*sin(1/x);

plot(y, x=-Pi/8..Pi/8);

En fin: las posibilidades son infinitas.


Una buena colección de ecuaciones se puede encontrar en la web Famous Curves.
 
Comentarios
Epsilones. Página + o - matemática de Alberto. Correo: alberto@epsilones.com. En la red desde el 4-7-2002 (ya hace). Última actualización: ver Novedades.
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