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Método de Euler para la resolución numérica de ecuaciones diferenciales

Veamos primero, muy por encima, la idea que subyace al método y después, mediante un ejemplo, su utillización práctica.

Supongamos que conocemos la derivada f '(x) de una cierta curva y = f(x) que no conocemos. Por definición, la derivada de f(x) en x = a es

\[f'(a)=\displaystyle\lim_{h \to 0}{\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}}\]

Para valores pequeños de h tendremos que

\[f'(a)\approx\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}\]

Despejando:

\[f(a+h)\approx f(a)+h·f'(a)\]

Lo que nos dice esta fórmula es evidente: si en vez de movernos a lo largo de la curva nos movemos a lo largo de la tangente a la curva, para un h suficientemente pequeño las cosas no serán muy distintas.

Pues bien, la idea de Euler consiste en aprovechar esta circunstancia para sustituir la curva por una poligonal (llamada poligonal de Euler) que tiene por vértices los puntos obtenidos yendo "de tangente en tangente".

En la figura de la izquierda vemos cómo en las cercanías del punto de contacto (x = 6) la tangente y la curva se comportan de un modo bastante parecido, aunque pronto divergen. En la figura de la derecha se muestra la poligonal de Euler para h = 2, un valor demasiado alto, aunque basta para ver como la poligonal aproxima a la curva.

A partir de la ecuación \(f(a+h)\approx f(a)+h·f'(a)\)

y haciendo a = an y a + h = an+1 podemos escribir la ecuación de recurrencia

\[f(a_{n+1})=f(a_n)+h·f'(a_n)\]

ecuación que nos permitirá construir la poligonal a partir de un valor inicial (a0, f(a0)).

Ejemplo: atractor de Rössler

Para ver cómo funciona el método utilicémoslo para reconstruir el atractor de Rössler. El atractivo de este atractor propuesto por Otto Rössler en 1977 es que ofrece un ejemplo de dinámica no lineal en el que la parte no lineal se ha reducido al máximo. El sistema de ecuaciones a resolver es el siguiente:

\[\begin{array}{l} \dfrac{dx}{dt}=-y-z \\ \dfrac{dy}{dt}=x+0,2y \\ \dfrac{dz}{dt}=0,2+z(x-6)\end{array}\]

Aplicando Euler:

\[\begin{array}{l} x_{n+1}= x_n+ h·(- y_n- z_n) \\ y_{n+1}= y_n+ h·(x_n+ 0,2y_n) \\ z_{n+1}=z_n+h·(0,2+z_n(x_n-6)) \end{array}\]

Ahora no hay más que elegir una terna de valores iniciales para x0, y0, z0, otro para el incremento h y algo de programación para obtener algo como esto:

En cualquier caso, también puedes echarle un vistazo al programa atractores.


Bibliografía

  • Para ver el método de Euler con un poco de seriedad, cualquier libro de métodos numéricos que trate ecuaciones diferenciales ordinarias vale.
  • Para profundizar en el atractor de Rössler, ver por ejemplo Iniciación al Caos.
  • Y para una rápida incursión en la teoría del caos y el asunto de los atractores, ver aquí mismo, en Epsilones, la historia titulada Caos.
 
Comentarios
Epsilones. Página + o - matemática de Alberto. Correo: alberto@epsilones.com. En la red desde el 4-7-2002 (ya hace). Última actualización: ver Novedades.
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