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Teselados aperiódicos de Penrose

Un teselado es un recubrimiento del plano sin solapamientos, es decir, sin que unas piezas se superpongan sobre otras. En este sentido, las tejas de un tejado no serían un teselado, pero sí un mosaico romano.

Los teselados pueden clasificarse según su periodicidad: si el teselado se puede desplazar en dos direcciones independientes del plano y hacer que coincida consigo mismo, se dirá que es periódico. Si no, se hablará de teselado no-periódico o aperiódico.

Un caso llamativo es el de las teselas necesariamente aperiódicas. Hay muchos ejemplos de teselas que permiten recubrir el plano de modo periódico y aperiódico. Lo sorprendente es que, como mostró Berger en 1966, existen conjuntos de teselas que solo llenan el plano aperódicamente. Su primer ejemplo constaba de 20426 formas distintas, número que después consiguió rebajar a 104. Más tarde, en 1971, Robinson conseguiría un conjunto de seis teselas. Finalmente sería Roger Penrose quien lograría la hazaña de encontrar un conjunto (en realidad dos) de tan solo dos teselas que rellenan el plano necesariamente de forma no periódica.

La presente actividad consiste en jugar con uno de los pares de teselas aperiódicas descubiertas por Penrose. Para ello voy a explicar cómo se construyen y a continuación presentar algún material para manipular.

El par de teselas en cuestión se pueden ver en la figura siguiente. La de la izquierda recibe el nombre de cometa, mientras que a la de la derecha se le llama flecha.

Un modo de obtener estas formas es partir de un rombo con ángulo menor de 72º y después trazar el mismo ángulo sobre los dos vértices de ángulo mayor como se indica en la figura:

Ahora ya solo falta un pequeño detalle. Dado que las dos formas, la cometa y la flecha, componen juntas un rombo, es evidente que con ellas, así sin más, se puede recubrir periódicamente el plano:

Para evitar esto y lograr que nuestro teselado sea necesariametne aperiódico se pueden seguir varios procedimientos. Uno es el indicado por el propio Penrose, consistente en añadir unos salientes y muescas que impidan los emparejamientos prohibidos.

Otro, que es el que vamos a seguir aquí, se debe a John Conway quien, por cierto, fue el que llamó cometa y flecha a las teselas de marras. La idea es dibujar dos arcos sobre cada pieza, arcos que se distinguirán de alguna manera, por el trazo o con colores distintos, y que señalan las combinaciones posibles: dos aristas solo podrán entrar en contacto si los extremos de sus arcos coindicen. La cometa y la flecha, una vez completada su construcción, tendrán el aspecto que se puede ver en la figura siguiente:

Solo queda una cuestión: viendo el dibujo es fácil localizar los centros de lo arcos. Sin embargo, ¿y los radios? ¿Qué radios debemos utilizar? La respuesta no deja de ser curiosa: los radios están en sección áurea. Vamos, que si la longitud del lado en cuestión es L, deberemos tomar como radio .

Ahora ya podemos ponernos a teselar el plano. Hay varias alternativas:

  1. Para vagos: descargar una plantilla para recortar.
  2. Para usuarios de Cabri: descargar un fichero .fig donde aparece la constucción de las piezas. Modificando el lado del paralelogramo (doble clic sobre el número 3) se puede aumentar o disminuir el tamaño de las teselas.
  3. Para gentre aguerrida: construir las teselas siguiendo las explicaciones dadas.

En Epsilones tenemos dos ejemplos cerámicos de teselaciones de Penrose: uno en Viajes, que utiliza el par de teselas explicado (aunque con alguna incorrección), y otro en El baúl, que muestra el otro par aperiódico de Penrose. Otro ejemplo, hecho con teselas de papel, es el siguiente:

Ahora solo queda ponerse a jugar, y demostrar con ello que las matemáticas no son inútiles: sirven para pavimentar.

Buen solado.


Fuentes:
 
Comentarios
Epsilones. Página + o - matemática de Alberto. Correo: alberto@epsilones.com. En la red desde el 4-7-2002 (ya hace). Última actualización: ver Novedades.
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