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Figuras de Lissajous: dibujando el sonido IV



► Esta historiaviene de Figuras de Lissajous III

El armonógrafo

La situación es la siguiente: tenemos dos movimientos armónicos simples en direcciones perpendiculares (dos muelles o dos diapasones, por poner dos ejemplos). La cosa es que, superadas las siempre eficaces simplificaciones, hay que pensar que, en la realidad, la energía se disipa y los unos oscilan y los otros vibran cada vez menos, de modo que las trayectorias que generan no se cierran sobre sí mismas porque su amplitud es, cada vez, menor, como ya dije.

Introducir la disipación de la energía en las ecuaciones es sencillo: basta multiplicar cada una de las ellas por \(e^{-\mu t}\), donde \(\mu\) marca el ritmo al que el sistema pierde energía:

\[\left\{\begin{array}{l} x(t)=e^{-\mu t}sen(\omega_1 t)\\y(t)=e^{-\mu t}sen(\omega_2 t+\delta)\end{array}\right.\]

Si representamos estas ecuaciones, lo que obtenemos son curvas que se van contrayendo a medida que pasa el tiempo. Si \(\mu=0\) quiere decir que no hay pérdida de energía, por lo que tenemos las figuras de Lissajous originales, pero para cualquier otro valor de \(\mu\) las trayectorias se haccen más y más pequeñas.

La siguiente construcción nos muestra las nuevas trayectorias. Como en las anteriores, podemos controlar las frecuencias angulares, la diferencia de fase, el intervalo de tiempo representado (ciclos) y, esta es la novedad, el parámetro de disipación, \(\mu\).

 

Estas figuras pueden obtenerse físicamente con un curioso aparato llamado armonógrafo, inventado por Hugh Blackburn en 1844: un péndulo, al oscilar, mueve un brazo con un lápiz que dibuja sobre un papel movido por otro péndulo. Ambos péndulos tienen planos de oscilación perpendiculares. A las figuras dibujadas por el armonógrafo se les llama armonogramas, claro.

Como en el caso de las figuras de Lisajous, para pares de frecuencias enteras volvemos a obtener los diseños más simples, mientras que para cocientes menos simples se obtienen figuras más enmarañadas. Sin embargo, en los armonogramas, los patrones más ricos en detalle surgen cuando nos separamos ligeramente de dichas relaciones simples: basta hacer, por ejemplo, \(\omega_1=4\ y\ \omega_2=4,08\), para ver que el patrón obtenido es tan complejo que es, de hecho, fractal.

Con el mismo truco que utilizamos para las figuras de Lissajous, hacer circular uno de los movimientos armónicos, podemos pasar los armonogramas a tres dimensiones. Hay que observar que ahora el cambio de fase no produce una rotación, porque la coordenada x no se desarrolla sobre una circunferencia sino sobre una espiral. También hay que tener en cuenta que en cuanto mayor sea el parámetro ciclos más lenta será la animación.

Esta figura aparece en Harmonograph, de Ashton.

 

Por cierto: ¿has conseguido unas gafas 3D? Si es así, también puedes ver estos armonogramas en verdadero 3D.

Que las combinaciones de sonidos naturalmente agradables posean frecuencias relacionadas según razones simples fue una sorpresa extraordinaria, una sorpresa con la que se inauguró la física como descripción matemática del mundo. Que esas mismas combinaciones de sonidos, al convertirlas en imágenes, den lugar a patrones visuales tan elegantes quizá era de esperar, pero la complejidad de algunas de sus formas vuelve a ser motivo de sorpresa, de una agradable sorpresa que dice mucho de nuestra percepción de la belleza: si nos alejamos de las razones simples en seguida entramos en regiones caóticas, donde la trayectoria se vuelve enmarañada y confusa, mientras que en las razones simples encontramos orden y simetría. Sin embargo, y esta es su aportación más interesante, los armonogramas nos muestran que las cosas se ponen realmente atractivas cuando nos desviamos ligeramente de esas relaciones simples y de su fría perfección.

Ya no debería sorprendernos que esto, de nuevo, sea fiel reflejo de cómo percibimos el sonido: es la belleza de la disonancia.


► Laboratorio: Armonógrafo rotatorio

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