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Figuras de Lissajous: dibujando el sonido III



► Esta historia viene de Figuras de Lissajous II y sigue en Figuras de Lissajous IV

Las figuras de Lissajous en tres dimensiones

Si has visto la animación del capitulo anterior te abrás dado cuenta de que las figuras de Lissajous, al modificar la diferencia de fase, parecen ser perspectivas de algo que gira. La cuestión entonces estriba en averiguar qué es eso que gira.

Tras algunos palos de ciego vi una forma de abordar el asunto (bastante obvia vista a posteriori): un movimiento armónico simple (como el del muelle) puede entenderse como la proyección sobre un eje de un movimiento rotatorio uniforme. En la figura de la derecha se ve que el punto verde frena y acelera, mientras que el rojo mantiene su velocidad constante a lo largo de todo su recorrido. Sin embargo, en ambos casos, la coordenada vertical es la misma en cada instante. De esta manera, pasando de una dimensión a dos, simplificamos el movimiento geometrizándolo, es decir, convirtiendo el efecto de la fuerza elástica del muelle en pura geometría (Einstein hizo algo así con la gravedad).

Dado que un movimiento armónico simple tiene por ecuación \(x(t)=sen(\omega_1 t)\) y que un movimiento circular tiene por ecuaciones

\(\left\{\begin{array}{l} x(t)=sen(\omega_1 t)\\y(t)=cos(\omega_1 t)\end{array}\right.\),

convertir el movimiento rectilíneo del primer muelle en un movimiento circular es tan sencillo como añadir la ecuación \(y(t)=cos(\omega_1 t)\).

Finalmente, representando el movimiento del segundo muelle \(y(t)=sen(\omega_2 t+\delta)\) en la dirección vertical, tenemos

\[\left\{\begin{array}{l} x(t)=sen(\omega_1 t)\\y(t)=cos(\omega_1 t)\\z(t)=sen(\omega_2 t+\delta)\end{array}\right.\]

Estas ecuaciones son las que se representan en la siguiente construcción, a la que he añadido en un plano las curvas de Lissajous tal y como las vimos en el capitulo anterior.

 

Bonito, ¿verdad? Activando la animación se ve perfectamente que las figuras de Lissajous son proyecciones planas de curvas tridimensionales. Ahora podemos entender por qué hay distintas figuras para la misma armonía: porque todas ellas son proyecciones planas, sombras de una figura tridimensional que SÍ es única para cada armonía. Sonidos de igual frecuencia pueden dar elipses de distintas excentricidades, hasta segmentos o circunferencias. ¿Por qué? Pues porque son sombras de una única elipse que gira en tres dimensiones a medida que cambia la diferencia de fase. Las figuras de Lissajous son sombras. Platón estaría encantado.

Resuelto el problema de dibujar la armonía, ¿podemos ir un poco más lejos? Siempre. Un tema interesante sería dibujar acordes en general. Se trataría de encontrar las figuras asociadas no a dos sonidos (o muelles), sino a tres sonidos o más. En principio no parece complicado, aunque, si dos sonidos dan lugar a una figura tridimensional, hay que pensar que tres sonidos darán lugar, al menos, a una figura tetradimensional. Dejo este asunto como ejercicio para el lector.

Lo que si vamos a hacer es considerar el problema con un poco más de realismo. Pensemos en diapasones o en muelles, tanto unos como otros, en la realidad, se paran: la energía se disipa y los unos oscilan y los otros vibran cada vez menos, de modo que las curvas no se cierran sobre sí mismas porque su amplitud es, cada vez, menor. Las consecuencias visuales de esta disipación se ven en el último capítulo de esta historia: Figuras de Lissajous IV.

Sin embargo, antes de que sigas, una pregunta: ¿tienes unas gafas anaglifo 3D rojo-cian? No te asustes: son las gafas 3D de toda la vida, las de papel celofán. Si el caso es que sí, búscalas, porque con ellas se pueden ver las figuras tridimensionales de Lissajous en verdadero 3D y es, sencillamente, espectacular. Si no tienes, no te preocupes: las puedes comprar o, mejor aún, construirlas utilizando la siguiente plantilla.


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Epsilones. Página + o - matemática de Alberto. Correo: alberto@epsilones.com. En la red desde el 4-7-2002 (ya hace). Última actualización: ver Novedades.
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