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Figuras de Lissajous: dibujando el sonido II



► Esta historia empieza en Figuras de Lissajous I y sigue en Figuras de Lissajous III

Las figuras de Lissajous

En el capítulo anterior hemos visto que, tras diversas simplificaciones, la trayectoria de una masa sujeta al movimiento de dos muelles perpendiculares entre sí queda descrito por las ecuaciones \[\left\{\begin{array}{l} x(t)=sen(\omega_1 t)\\y(t)=sen(\omega_2 t+\delta)\end{array}\right.\]

La construcción siguiente muestra dicha trayectoria, que depende de tres parámetros: \(\omega_1\ y \ \omega_2\), que son las frecuencias angulares respectivas de los dos muelles, y \(\delta\), que es la diferencia de fase. La frecuencia angular de un muelle es el número de ciclos completos de contracción-alargamiento (multiplicado por \(2\pi\)) que experimenta el muelle por unidad de tiempo. La diferencia de fase da cuenta del hecho de que, en el momento considerado incial, t = 0, los dos muelles no tienen por qué estar en la misma fase de su recorrido. Si, por ejemplo, en el momento t = 0 ambos muelles están en su máxima elongación, dicha diferencia es cero; pero si uno de ellos está pasando por la posición de equilibrio, entondes la diferencia de fase será de \(\dfrac{\pi}{2}\).

La construcción permite modificar los tres parámetros. Además, el botón Animación hace que \(\delta\) se modifique automáticamente. Finalmente, el deslizador ciclos permite mostrar más tiempo de la trayectoria cuando la figura es complicada. Eso sí: en cuanto mayor es el parámetro ciclos más se ralentiza la animación.

Ahora podemos reccordar nuestro problema inicial, que consistía en encontrar un procedimiento para verificar si las notas producidas por dos diapasones están en una cierta armonía. Desde Pitágoras, sabemos que cada intervalo musical presenta una relación simple entre las frecuencias. Una octava, por ejemplo, se da cuando la frecuencia de uno de los sonidos es doble que la del otro. Un intervalo de quinta, cuando las frecuencias de ambos sonidos están en relación 3:2, etc. Pues bien: basta introducir en la construcción de arriba frecuncias que estén en la relación correspondiente al intervalo deseado para tener la figura de Lissajous que le corresponde. Propongo a continuación algunos de los intervalos musicales más usuales:

  • Para \(\omega_1=1\, \ \omega_2=1\) tenemos sonidos unísonos.
  • Para \(\omega_1=1\, \ \omega_2=2\) tenemos una octava.
  • Para \(\omega_1=2\, \ \omega_2=3\) tenemos el intervalo de quinta.
  • Para \(\omega_1=3\, \ \omega_2=4\) tenemos el intervalo de cuarta.
  • Para \(\omega_1=4\, \ \omega_2=5\) tenemos una tercera mayor.
  • Para \(\omega_1=5\, \ \omega_2=6\) tenemos una tercera menor.
  • etc.

Es interesante observar cómo se reflejan las frecuencias angulares en las figuras. Por ejemplo, para el intervalo de quinta \(\omega_1=2\, \ \omega_2=3\), en la figura se aprecian claramente dos lóbulos en vertical y tres en horizontal. Esto se vuelve evidente cuando las frecuencias no están en una relación simple, porque entonces el número de lóbulos se multiplica y la figura se complica enormemente. El caso extremo sería el de dos frecuencias cuyo cociente fuese irracional, pues el número de lóbulos se hace infinito y la figura no se cierra nunca. Por el contrario, si las frecuencias son iguales, las figuras que obtenemos son elipses (o casos degenerados), como observó Lissajous en sus experimentos (para los incrédulos, la demostración matemática aparece un poco más abajo).

En fin, que parece que hemos resuelto el problema de verificar la armonía entre sonidos. Sin embargo, en la construcción vemos que si se modifica la diferencia de fase \(\delta\), las figuras también cambian. Lo hacen de modo continuo y guardando un cierto aire de familia, pero, aun así, son distintas, lo cual es evidentemente insatisfactorio. De una huella digital queremos que sea única, así que vamos a intentar resolver tanta diversidad. Vuelve por favor a la figura de arriba y activa la animación. ¿Qué impresión te da? ¿Qué te parece que estás viendo? Es un movimiento, sí, pero ¿de qué tipo? Si no te interesan las demostraciones, puedes saltarte lo que viene y encontrar la solución a tanta pregunta en Figuras de Lissajous III.

Demostración de que las figuras de Lissajous correspondientes a frecuencias iguales son elipses (casi siempre).

Vamos a considerar \(\delta\) en el intervalo \([0, \pi]\):

Desarrollando \(y(t)=sen(\omega_2 t+\delta)\), se tiene: \(y(t)=sen(\omega_2 t)cos \delta+cos(\omega_2 t) sen \delta\)

Como \(x=sen(\omega t)\), entonces \(cos(\omega t)=\sqrt{1-x^2}\). Sustituyendo arriba, tenemos:

\[y=x cos \delta+\sqrt{(1-x^2)} sen \delta\]

Quitando la raíz, llegamos a la ecuación \[x^2+y^2-2xy cos \delta=sen^2 \delta\]

que resulta ser la ecuación de una elipse oblicua de semidistancia focal \(c=\sqrt{2 cos \delta}\) (es un buen ejercicio calcular esto), aunque no siempre:

  • Para \(\delta =0\), la ecuación queda \(x^2+y^2-2xy=0\) o, lo que es lo mismo, \((x-y)^2=0\), simplificando \(y=x\), es decir, una segmento.
  • Para \(\delta =\dfrac{\pi}{2}\), la ecuación queda \(x^2+y^2=1\), es decir, una circunferencia.
► Esta historia sigue en Figuras de Lissajous III

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