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Demostración por disección del teorema de Pitágoras (Henry Perigal)

Vamos a empezar con un puzle. Solo tiene cinco piezas, así que no es muy dificil. Seleccionando la casilla Rompecabezas aparecerán cuatro cuadriláteros de colores que, junto con el cuadrado pequeño de color naranja, nos tienen que bastar para cubrir por completo y exactamente, el cuadrado grande, el construido sobre la hipotenusa. Las piezas pueden arrastrárse con el botón izquierdo del ratón.

 

No era dificil, ¿verdad? Pues esta es, básicamente, la idea de la demostración del teorema de Pitágoras que encontró Henry Perigal allá por 1830. Ocupado en buscar demostraciones de teoremas geométricos basadas en descomposición de figuras, encontró esta disección, que es de una elegancia y una sencillez increíbles. Perigal enunció su descubrimiento como "Demostración mecánica por transposición de partes del teorema del Triángulo Rectángulo".

La construcción es la siguiente:

  1. Desde el punto central del cuadrado construido sobre el cateto mayor se traza una paralela y una perpendicular a la hipotenusa, descomponiéndolo así en cuatro cuadriláteros.
  2. Desde los puntos centrales de los lados del cuadrado construido sobre la hipotenusa se trazan paralelas a los catetos hasta que estas se encuentran, como se puede ver en la figura del propio Perigal.

La clave de la demostración la da Steinhaus en sus Mathematical Snapshots: las dos líneas azules son paralelas por construcción, al igual que las dos líneas rojas, por lo que se tiene que a = b + c. De lo mismo se deduce, además, que las dos líneas que dividen el cuadrado del cateto mayor son iguales a la hipotenusa, por lo que los cuatro cuadriláteros i, G, L y A tiene dos lados iguales a la mitad de la hipotenusa. Con esto se puede entender el siguiente fragmento del artículo de Perigal:

"Siendo los lados del cuadrilátero I respectivamente paralelos a los lados análogos del cuadrilátero i, y siendo dos de los lados de cada uno de dichos cuadriláteros iguales a la mitad del lado del cuadrado de la hipotenusa, los dos cuadriláteros (I y i) son iguales en perímetro y área. De la misma manera se puede probar que P y L, E y A, R y G, son iguales y similares; y que todos ellos son iguales en área y perímetro".

Falta probar que el cuadrado II es el que aparece en el centro del cuadrado de la hipotenusa. Veamos cómo lo demuestra Perigal:

"El lado más largo de E es igual y paralelo al lado más largo de A, el cual es paralelo e igual a la perpendicular más el lado menor de i; quitando entonces su equivalente, el lado más corto de I, del lado más largo de E, quedará el lado del cuadrilátero H, el cual, siendo rectángular con cuatro lados iguales, es un cuadrado igual al cuadrado de la perpendicular del ángulo recto del triángulo".

Aunque es obvio que el estilo literario ha cambiado desde entonces, la idea está clara: con una simple disección de cuatro piezas en un caso y cinco en otro, demostramos el teorema de Pitágoras con un nivel de simetría espectacular. La construcción siguiente da, automáticamente, la solución del rompecabezas marcando la casilla Demostración y llevando el dslizador hacia la derecha.

La otra casilla, Aparición, sirve para ver cómo el cuadrado construido sobre el cateto menor va apareciendo en el centro del cuadrado construido sobre la hipotenusa. Desmarcando primero la casilla Demostración y marcando después la casilla Aparición veremos dos cuadrados iguales, uno encima del otro, divididos en cuatro partes. Moviendo hacia arriba dicho punto azul, al tiempo que vemos aparecer el cuadrado del cateto menor a la izquierda, le vemos aparecer también aparecer en el centro del cuadrado de la hipotenusa. Esta aparición muestra la extraordinaria profundidad de la descomposición de Perigal.

En su artículo, Perigal añadió un segundo teorema que se deduce obviamente de todo lo anterior, y que muestra cómo construir un cuadrado que sea suma de otros dos dados. Basta situar el cuadrado pequeño encima del mayor, y trazar desde el centro del mayor una línea que vaya hasta la mitad de la diferencia entre los dos cuadrados. Si este segmento se dobla en longitud y se construye un cuadrado a partir de él, tendremos el cuadrado buscado.

En la figura, dados los cuadrados azul y rojo se construye el cuadrado verde, suma de los dos anteriores.

Lo anterior es una de las infinitas soluciones que se pueden conseguir sobre una teselación del plano. Si recubrimos este con dos teselas cuadradadas distintas, basta superponer el cuadrado solución obtenido arriba para obtener otras soluciones del problema y toda una colección de rompecabezas. En la figura siguiente, al marcar la casilla Ocultar, aparece un marco verde que podemos arrastrar sobre la figura. En cada nueva posición, y cortando por las líneas que aparecen dentro del marco, obtenemos un rompecabezas con el que podemos recomponer un cuadrado de cada uno de los dos tamaños, uno rojo y otro azul (una descomposición similar sepuede ver en El cuadrado y la cruz griega II).

 

Visto lo visto no es de extrañar que Perigal estuviese tan encantado con su construcción que, a imitación de otros grandes de la matemática, quisiese que su teorema apareciese grabado en su lápida.


Bibliografía

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