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Secciones planas de un cono: las cónicas

Intentando conseguir la duplicación del cubo, Menecmo descubrió las cónicas. Más tarde, Apolonio les dedicó un tratado de tal fama que todos los demás quedaron olvidados. La cuestión es que ya desde la antigua Grecia se estudiaron las secciones planas de un cono, es decir, las curvas que surgen al cortar un cono con un plano.

Aunque al hablar de cónicas nos referimos normalmente a la elipse, la hipérbola y la parábola, las secciones planas pueden ser siete, pues a las tres anteriores hay que añadir la circunferencia (en realidad una elipse de excentricidad cero) y las llamadas cónicas degeneradas, que son aquellas que surgen al cortar el cono por un plano que pasa por su vértice, a saber: el punto, la recta, y el par de rectas.

Si el plano de corte no pasa por el vértice, tenemos entonces los siguientes casos:

  • El plano de corte es perpendicular al eje del cono: circunferencia.
  • El plano está inclinado, pero menos que la generatriz del cono: elipses.
  • El plano es paralelo a la generatriz del cono: parábola.
  • La inclinación del plano es mayor que la de la generatriz: hipérbolas.

Es importante señalar que tanto la circunferencia como la parábola son casos frontera, en el sentido de que se dan para una inclinación en particular, mientras que elipses e hipérbolas se dan en todo un rango infinito de casos.

En la figura los botones nos permiten ver un ejemplo de cada tipo. Con los deslizadores podemos modificar el ángulo del cono y la inclinación del plano de corte y mover este en vertical y, para planos verticales, también en horizontal.

Figura 1

 


 

La siguiente figura permite ver las cónicas en el plano, ya desvinculadas del cono, pero manteniendo la relación que las une: empezando en una circunferencia, si hacemos girar el plano manteniendo fijo el centro de la circunferencia, obtendremos, sucesivamente, elipses, la parábola, hipérbolas y dos rectas que se cruzan. Los secciones corresponden a un cono cuyas generatrices forman 45º con la horizontal y a un plano de corte inclinado un ángulo \(\alpha\). Los puntos F y F' son los puntos llamados focos, mientras que los puntos A, A', B y B' son los vértices. El significado de estos puntos se puede ver en Las cónicas como lugares geométricos.

La epsilon que aparece por ahí es la excentricidad, y está relacionada con la inclinación del plano de corte por la fórmula \(\epsilon=\sqrt{2}sen\alpha\), de modo que para \(\alpha=0\) tenemos una circunferencia (\(\epsilon=0\)); para \(\alpha\) entre 0º y 45º, elipses (\(0<\epsilon<1\)); para \(\alpha=45º\), una parábola \((\epsilon=1)\); y para \(\alpha\) entre 45º y 90º hipérbolas (\(1<\epsilon<\infty\)), siendo el caso \(\alpha=90º\) el de la cónica degenerada consistente en dos rectas que se cortan.

Figura 2

¿Te has fijado en que un foco desaparece por la derecha y aparece por la izquierda? Como si hubiese dado la vuelta por detrás, ¿verdad? Pues algo así es, porque en el caso de la parábola el foco de la derecha se va al infinito (ya lo vio así Kepler), desde donde regresa después convertido en el foco izquierdo de las hipérbolas.

Un tema interesante es que los griegos, que ya conocían estas curvas de sorprendentes propiedades, las estudiaron porque..., pues porque si. Luego resultó que nos sirvieron para describir el movimiento de los astros (en realidad el de que cualquier móvil en un campo gravitatorio) o para fabricar faros, antenas parabólicas o chimeneas gigantes, pero todo eso es otra historia que vino después: primero fue la invetigación pura, el puro afán de conocer, y esto es algo en lo que deberían pensar aquellos que desprecian alegremente la importancia de la investigación básica.


Apéndice: la ecuación

Para representar la sección cónica de arriba he calculado su ecuación de la siguiente manera:

Dado un ángulo \(\alpha\), \((0\leq\alpha\leq90º )\), considero el plano que pasa por el punto (0, 0, q) y tiene por vectores directores (0, 1, 0) y \((cos\alpha, 0, sen\alpha)\).

Su ecuación será entonces:

\[det\begin{bmatrix}{x}&{0}&{cos\alpha}\\{y}&{1}&{0}\\{z-q}&{0}&{sen\alpha}\end{bmatrix}=0\]

Desarrollando el determinante, se tiene:

\[x·sen\alpha-(z-q)cos\alpha=0\ \ \ \ \ \ [1]\]

Considero también un cono recto que tiene como eje al eje OZ. Si \(\beta\), \((0<\beta<90º )\), es el ángulo que una generatriz forma con la horizontal, para cada valor de z dará una circunferencia de radio \(\dfrac{z}{tg\beta}\). Su ecuación será:

\[x^2+y^2=\left(\dfrac{z}{tg\beta}\right)^2\ \ \ \ \ \ [2]\].


Figura 3

La cónica que buscamos es la solución del sistema formado por las ecuaciones [1] y [2], por lo que vamos a resolverlo:

Despejamos z en [1]: \[z=xtg\alpha+q\]

y sustituimos en [2]:

\[x^2+y^2=\left(\dfrac{xtg\alpha+q}{tg\beta}\right)^2\]

La curva anterior está incluida en el plano [1]. Allí podemos tomar como uno de los ejes de un sistema de referencia uno paralelo al vector (0, 1, 0). Al ser paralelo al eje OY esta coordenada nos vale tal cual. El otro eje será paralelo al vector \((cos\alpha, 0, sen\alpha)\). Este forma con el eje OX un ángulo \(\alpha\) (ver figura de arriba), por lo que cambio la x por \(xcos\alpha\).

\[(xcos\alpha)^2+y^2=\left(\dfrac{xcos\alpha tg\alpha+q}{tg\beta}\right)^2\]

Desarrollando y simplificando un poco llegamos a:

\[y^2=x^2\left(\dfrac{sen^2\alpha}{tg^2\beta}-cos^2\alpha\right)+x\dfrac{2qsen\alpha}{tg^2\beta}+\dfrac{q^2}{tg^2\beta}\ \ \ \ \ \ [3]\]

Haciendo \(q=1\) y \(\beta=45º\), queda la ecuación

\[y^2=-x^2cos2\alpha+2xsen\alpha+1\]

que es la que he representado en la figura 2.

Apendice 2: corte vertical

El único corte con el cono que no hemos tenido en cuenta es el de un plano paralelo al eje OZ y que no lo contenga.

Sea un punto (r, 0, 0) del plano, y sean los vectores directores (0, 1, 0) y (0, 0, 1).

La ecuación del plano será:

\[det\begin{bmatrix}{x-r}&{0}&{0}\\{y}&{1}&{0}\\{z}&{0}&{1}\end{bmatrix}=0\]

Desarrollando el determinante, se tiene:

\[x-r=0\]

Para hallar el corte con el cono basta hacer \(x=r\) en la ecuación del cono

\[x^2+y^2=\left(\dfrac{z}{tg\beta}\right)^2\]

Queda:

\[r^2+y^2=\left(\dfrac{z}{tg\beta}\right)^2\]

y, despejando,

\[\dfrac{z^2}{tg^2\beta}-y^2=r^2\]


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