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Demostración espiral de la numerabilidad de los racionales

Ya vimos en Cantor y el infinito numerable que los números racionales son numerables, es decir, que se puede establecer una biyección entre ellos y los números naturales. Establecer esta biyección al final se reduce a ordenar los números racionales en una secuencia, porque, una vez obtenida esta, la biyección es obvia: al primero se le hace corresponder el uno, al segundo el dos y así sucesivamente.

La secuencia que vamos a ver en esta ocasión es interesante por varias razones: porque es muy geométrica, porque nos proporciona un mecanismo para evitar las repeticiones y porque las espirales siempre tienen un encanto especial.

La idea es sencilla: cada punto del plano con coordenadas enteras va a representar una fracción que va a tener por numerador la coordenada vertical del punto y por denominador la coordenada horizontal. En la imagen, arriba a la derecha, vemos escrita la fracción \(\dfrac{5}{4}\) al lado del punto de coordenadas \((4, 5)\).

Tobias Dantzig. Number. The language os science

Representadas de esta manera todas las fracciones posibles de números enteros, se trata ahora de indicar una secuencia de lectura, y esto lo hacemos con la espiral que, empezando en el punto (1, 1), continúa con (1, 0), luego (1, -1), (-1, -2), (1, 2) y así sucesivamente.

Además de anotar la fracción correspondiente, para cada punto considerado vamos a dibujar la recta que pasa por él y por el origen de coordenadas. Estas rectas son importantes, porque, dada una de ellas, todos sus puntos definen, según el mecanismo descrito arriba, fracciones equivalentes: al dividir la segunda coordenada entre la primera obtenemos la pendiente de la recta, por lo que el cociente debe ser el mismo para todos los puntos de dicha recta. De esta manera, al ir enumerando las fracciones, cuando le toque el turno a un punto pertenecientea una recta ya dibujada, nos lo saltaremos, por corresponder a un número racional que ya hemos incluido en nuestra secuencia.

Por ejemplo: al señalar en primer lugar el punto (1,1), dibujamos también la bisectriz del primer cuadrante, que pasa por él y por el (0,0). La espiral pasa poco después por el punto (-1, -1) que está en la misma recta y que debemos saltarnos, ya que las fracciones correspondientes, \(\dfrac{1}{1}\) y \(\dfrac{-1}{-1}\), son equivalente y respresentan por tanto al mismo número racional.

Interesa señalar que ninguno de los dos ejes coordenados ha de ser tenido en cuenta: el eje de las abscisas porque contiene el punto (1, 0) que aparece en el segundo lugar de la secuencia y que invalida, por tanto, todos los demás números que aparecen en ella y que representarían, por cierto, al cero. Por su parte, el eje de las ordenadas, al ser la coordenada horizontal de todos sus puntos cero, daría lugar a fracciones con denominador cero.

Con lo dicho tenemos un mecanismo para ordenar todos los número racionales y demostrar así su numerabilidad. Es verdad que la secuencia no conserva el orden de magnitud de los números, como sí ocurre cuando ordenamos los números naturales del modo natural. Esto, por un lado, no es en absoluto importante, porque, en lo que a la numerabilidad se refiere, lo único relevante es poder establecer la biyeccón con los naturales, y eso lo hemos logrado. Pero, por otro lado, no deja de ser inquietante saber que dado un número racional no podamos hablar del siguiente en magnitud porque, para cualquier otro racional que mencionemos, haya infinitos entre medias, y que, sin embargo, sepamos a su vez que, desordenándolos, podemos colocarlos en secuencia.

Dicho de otro modo: que los números racionales sean densos (dados dos racionales siempre hay otro, de hecho infinitos, entre medias) y nuerables es de las cosas más raras con las que uno se puede encontrar.

Pero es así son las cosas del infinito.


Number. The language of science, p.225. La imagen está tomada de dicha publicación.
 
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