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Los centros de Kimberling y la circunferencia de nueve puntos

Los centros de Kimberling

Cuando en secundaria se estudian los puntos notables del triángulo, son cuatro los que se ven: baricentro, ortocentro, cincuncentro e incentro, todos ellos, de alguna manera, centros del triángulo, y todos ellos ya conocidos por los antiguos.

A muchos de mis alumnos suelen parecerles demasiados centros. Sin embargo, en el triángulo hay más puntos notables, puntos que deben su importancia a reflejar alguna de las múltiples propiedades del triángulo. Por eso un día, Clark Kimberling, profesor de matemáticas en la Universidad de Evansville, decidió hacer un catálogo con todos ellos. En 1994 publicó una primera edición de su Encyclopedia of Triangle Centers con 101 puntos. Una segunda versión de 1998 contaba ya con 360. Posteriormente Kimberling puso su enciclopedia en línea y en la actualidad recoge más de 3000 puntos. Algunos de ellos están representados en la siguiente figura. Observese que muchos de ellos se sitúan en la circunferencia circunscrita.


Fuente: Mathworld

En la Clark Kimberling's Encyclopedia of Triangle Centers (ETC) no solo encontramos la definición de estos puntos, sino las propiedades que cumplen y las relaciones existentes entre ellos, por lo que es una increíble, y creciente, fuente de conocimiento geométrico. Y también de sorpresa, al meenos para mi, al ver explicitado todo lo que esconde el más elemental de los poligonos.

En la ETC los centros se identifican por una X con un índice. Según está nomenclatura, los cuatro centros clásicos serían los cuatro primeros:

  • X(1) Incentro.
  • X(2) Centroide o baricentro.
  • X(3) Circuncentro.
  • X(4) Ortocentro.

Obviamente podemos empezar a estudiar los centros de Kimberling por donde queramos. Sin embargo, dado que los cuatro primeros nos son conocidos, una idea es explorar el siguiente punto de la lista, el X(5), que resulta ser el centro de la llamada circunferencia de los nueve puntos.

Circunferencia de los nueve puntos

Dado un triángulo cualquiera, se llama circunferencia de los nueve puntos, o circunferencia de Euler, o circunferencia de Feuerbach, al círculo que pasa por los puntos de corte de cada una de las alturas con su lado opuesto.

Lo dicho, dado que por tres puntos no alineados siempre pasa una circunferencia, no parece muy impresionante. Además, ¿y lo de los nueve puntos?

Resulta que Euler demostró que dicha circunferencia también pasa por los puntos medios de los tres lados del triángulo:

Y resulta que Feuerbach demostró, por su parte, que la circunferencia pasa también por los tres puntos medios de los segmentos que unen cada vértice con el ortocentro. Es decir, que esta circunferencia pasa por nueve puntos importantes del triángulo, lo cual no solo explica su nombre, sino también empieza a dar idea de su interés.

Aparte de las indicadas, son otras muchas sus propiedades. Vamos a fijarnos solo en dos de ellas.

La primera es que su centro es el punto medio del segmento que une el ortocenctro y el circuncentro, lo cual establece una relación profunda entre las alturas y las mediatrices de los lados del triángulo.

La otra es que la circunferencia de los nueve puntos es tangente a las tres circunferencias exinscritas, que son aquellas que, centradas en los exincentros (cortes de las bisectrices de los lados del triángulo exteriores al triángulo), son tangentes a los tres lados del triángulo por fuera (por dentro tenemos otra circunferencia tangente a los tres lados, precisamente la circunferencia inscrita).

Todo lo dicho se ve mucho mejor en la siguiente construcción (los vértices del triángulo se pueden mover arrastrando con el botón izquierdo del ratón pulsado).

Impresionante, ¿verdad? Pues lo mostrado no es más que el principio. La demostración de lo anterior y mucho más puede encontrarse, por ejemplo, en el texto Geometría métrica y proyectiva en el plano con coordenadas baricéntricas. Algunos tópicos, de Angel Montesdeoca, de la Universidad de La Laguna.

Termino con un pequeño ejercicio: aunque la circunferencia se llame de los nueve puntos, en realidad estos no siempre son nueve: pueden ser cuatro, cinco, seis, ocho.... ¿Cuántas posibilidades hay? ¿En qué condiciones ocurre cada una de ellas?

Volviendo a los centros de Kimberling

Algunos alumnos, cuando les pido que expliquen qué es una mediana, o una mediatriz, o cualquier otra recta notable del triángulo, además de alguna otra condición fantástica, dicen: "y pasa por el centro del triángulo", lo cual resulta frustrante cuando les has hablado de cuatro centros. Sin embargo, tiene su sentido. La figura con centro por antonomasia es el círculo, y este tiene un solo centro. De aquí a sacar la conclusión de que todas las figuras tienen un centro solo hay un paso.

Ahora bien, superada la confusión y aceptado que el triángulo tiene miles de centros, cabe preguntarse por qué. ¿Qué le pasa al triángulo para que no podamos asignarle un solo centro como a la circunferencia?

La respuesta es simetría. La circunferencia tiene una simetria total. No tiene puntos privilegiados. Todos ocupan un lugar en todo semejante al de los demás. Y existe un punto que, no siendo de la circunferencia, ocupa la misma posición respecto de todos ellos, justo ese que llamamos centro. En el caso del triángulo la simetria está rota: en el peor de los casos, en el triángulo escaleno, la relación de cada punto con los demás y con el conjunto es distinta. De ahí que, dependiendo de la característica que estudiemos, encontremos centros distintos.

Si volvemos a mirar la figura con algunos de los centros de Kimberking

y pensamos a la vez en una circunferencia con su único centro, da la sensación de que se ha producido una explosión en la que el centro único de la circunferencia ha estallado en miles de puntos distintos. Este es el poder de la ruptura de la simetría, introducir complejidad a partir de la unidad.

Un caso intermedio es el del triángulo equilátero. Sin tener la simetría total de la circunferencia, lo cierto es que posee una potente simetría (\(D_3\)). A partir de ella podemos conjeturar que cualquier punto que se defina a partir de un triángulo equilátero sin que se privilegie a ninguno de sus puntos debe coincidir con el primer centro de Kimberling, su incentro. Desde luego los cuatro siguientes de la lista lo cumplen. Comprobar cuántos puntos más verifican la conjetura es un buen ejercicio que dejo para el lector.


Otras referencias para la circunferencia de nueve puntos

Archivo Geogebra

 
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