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Triángulo de Reuleaux

El triángulo de Reuleaux se construye a partir de un triángulo equilátero dibujando para cada vértice un arco de circunferencia centrado en él y con el lado opuesto como cuerda.

Tiene algunas propiedades interesantes. La más llamativa es que su anchura, el lado del triángulo original, es constante: como se puede ver en la animación, lo coloquemos como lo coloquemos, la figura siempre mantiene un punto de contacto con cada lado del cuadrado (observese que en el movimiento del triángulo de Reuleaux no hay ningún punto fijo). Para activar la animación hay que hacer clic en el botón que hay a la izquierda de la imagen.

Si reducimos un poco el tamaño del triángulo podemos conseguir que ruede dentro del cuadrado. Probando a ojo encontré que la relación 10/9 para los lados del cuadrado y el triangulo funcionaba muy bien. Sin embargo, luego, cuando hice las cuentas, encontré que el valor exacto no es ese (de hecho, es irracional) pero se le parece mucho: \(\dfrac{\pi}{6}-\sqrt{2}+2\) (dejo los detalles del cálculo como ejercicio para el lector).

Otra propiedad que llama la atención es que el cociente entre su perímetro y su anchura no es otro que \(\pi\). Vamos, que al círculo le ha salido un serio imitador. Si el lado del triángulo es l, la longitud de uno de los arcos será \(L=l·\dfrac{\pi}{3}\). Multiplicando por tres obtenemos el perímetro: \(P=l·\pi\). En realidad, este hecho es mucho más general, pues el teorema de Barbier asegura que en todas las curvas de anchura constante el perímetro es \(\pi\) veces su anchura.

En realidad, lo que hemos hecho redondeando los lados de un triángulo podemos hacerlo con cualquier poligono regular con un número impar de lados y obtener los polígonos de Reuleaux.

En este sentido, podemos entender la circunferencia como el límite de estos polígonos curvos de anchura constante. De hecho, otro teorema, el de Blaschke-Lebesgue, asegura que el triángulo de Reuleaux es la curva de menor área con anchura constante, siendo la circunferencia la que encierra un área mayor.

Apariciones del triángulo de Reuleaux

El triángulo de Reuleaux ya había aparecido en Epsilones, aunque sin citarlo: es uno de los motivos matemáticos del extraordinario vídeo Inspirations de Cristóbal Vila.

También podemos encontrar el triángulo en la arquitectura. A partir de la definición es obvio que puede verse como intersección de tres circunferencias.

La figura resultante de las intersecciones dos a dos de las tres circunferencias me recordó a los rosetones góticos, así que me puse a buscar.

Y encontré no solo el motivo...

... sino al propio triángulo de Reuleaux enmarcándolo hasta cuatro veces para formar una cruz de Malta de ocho puntas. La imagen es de la iglesia de San Juan del Hospital, de Valencia (Foto: www.jdiezarnal.com).

También en tecnología encontramos apliaciones: su anchura constante permite construir rodillos para deslizar superficies; sorprendentes ruedas; o tapas de alcantarilla que, como las circulares, nunca se cuelan por el agujero.

Siendo todas curiosas, uno de los usos más sorprendentes aprovecha su capacidad de barrer casi completamente el cuadrado para dar forma a una broca que hace agujeros casi cuadrados:

 

Un último ejemplo, hay muchos más, lo encontré encima de mi mesa. Se trata del lápiz que puedes ver a la derecha, de la National Gallery of Ireland, cuya sección tiene forma de triángulo de Reudeaux. Diré que es el más comodo que he usado nunca, mucho mejor que los circulares o hexagonales. Y no es broma.


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Epsilones. Página + o - matemática de Alberto. Correo: alberto@epsilones.com. En la red desde el 4-7-2002 (ya hace). Última actualización: ver Novedades.
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