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Los siete puentes de Königsberg

El río Pregel, a su paso por la ciudad alemana de Königsberg (hoy Königsberg es rusa y se llama Kaliningrado), forma dos islas. En el siglo dieciocho ambas islas estaban conectadas entre sí y con las dos orillas del río mediante siete puentes. Se dice que sus habitantes intentaron durante años encontrar un camino que cruzase cada puente una y solo una vez y que volviese al punto de partida. Nunca lo encontraron. La cuestión era: ¿existe tal camino?

El problema fue resuelto por Euler en una memoria que presentó en 1735 en la Academia de San Petersburgo. Trataba el tema en una forma mucho más general, de modo que resolvía el problema de los siete puentes como un caso particular. Supuso el inicio de la teoría de grafos y el comienzo de la topología, un nuevo tipo de geometría menos preocupado por lo cuantitativo y más por las propiedades cualitativas de las formas.

A partir de un dibujo como el de la izquierda, en el que se pueden ver los siete puentes sobre el Pregel, Euler eliminó todo lo que no fuese esencial para el problema. Convirtió las cuatro zonas A, B, C y D en sendos puntos (llamados también vértices o nodos), y cada uno de los puentes (marcados con minúsculas) en líneas (o aristas) que conectan los nodos. De esta manera obtuvo el gráfico de la derecha.

La idea básica de su razonamiento es de una sencillez pasmosa: para cumplir con las condiciones del problema, si uno llega a un nodo a través de una arista, debe salir de él por una arista distinta, lo que nos lleva a que en cada nodo el número de aristas que llegan a él debe ser par, cosa que en el caso de los puentes de Königsberg no es cierta: a los nodos B, C y D llegan tres aristas, mientras que al nodo A llegan cinco. Así de sencillo. Así de genial.


Mathematical Recreations and Essays, p.243; Matemáticas e imaginación, p.262; Dances with Dodecahedra, p.86.
 
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