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Teorema de Desargues

Desargues, contemporáneo de Descartes, basándose en la perspectiva pictórica renacentista y en el principio de continuidad de Kepler, llevó a cabo un estudio auténticamente revolucionario de las cónicas. Su idea central consistió en estudiar aquellas propiedades de los objetos geométricos que permanecen invariantes bajo proyección. De esta manera, las cónicas resultan una familia "estrechamente unida".

Sin embargo, los tiempos no estaban lo suficientemente maduros para esta nueva geometría proyectiva, entre otras cosas por el furor que causó el estudio algebraico de la geometría de Descartes, y Desargues sería recordado casi exclusivamente por el siguiente teorema, que lleva su nombre:

Teorema: Si dos triángulos ABC y A'B'C' son de tal forma que las rectas AA', BB' y CC' se cortan en un único punto O, entonces los puntos de intersección de las rectas AB y A'B', AC y A'C', BC y B'C' (P, Q y R respectivamente) están alineados.

Es particularmente interesante la demostración del teorema, pues muestra espectacularmente la potencia de la geometría proyectiva: en vez de considerar los dos triángulos inmersos en el mismo plano, se puede considerar que lo que estamos viendo en realidad es la proyección plana de un sistema tridimensional en el que el segundo triángulo es la proyección del primero desde el punto O en un plano no paralelo al del primero. Al no ser paralelos, los dos planos se cortarán en una recta. Esta recta contendrá las intersecciones de los lados correspondientes. Listo.

Nota. el esquema, si no lo has descubierto ya, es interactivo: prueba a mover cualquiera de los vérticces de los triángulos o alguna de las rectas OA, OB, OC: verás que los puntos P, Q y R se mantiene alineados.

***

Un problema: Diez árboles en diez filas de tres

Un viejo problema dice: ¿Cómo plantar diez árboles en diez filas de tres árboles cada una de modo que cada árbol esté exactamente en tres filas?

Hay que tener en cuenta que no se da ninguna condición sobre las filas, ni en cuanto a su paralelismo ni en cuanto a su longitud. Sin embargo, pese a todas las libertades, resolver el problema no resulta nada fácil (reto al lector a que lo intente)... a no ser que uno conozca el teorema de Desargues. En este caso, la cuestión resulta trivial, pues una inspección del esquema dado nos da la solución: basta colocar los árboles en los puntos A, B, C, A', B', C', P, Q, R y O.


Nota: en un principio, un servidor escribió el siguiente enunciado: ¿Cómo plantar diez árboles en diez filas de tres árboles cada una?, que tuve que corregir cuando José mandó la siguiente solución, obtenida por un compañero de clase:


To Infinity and Beyond, p.113; Boyer, p.452.

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