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El principio de dualidad: los teoremas de Pascal y Brianchon

El principio de dualidad

En el plano euclídeo habitual es evidente que dos puntos definen una recta, justo aquella que los contiene. Al revés, sin embargo, no es cierto, pues dos rectas, además de cortarse y definir por tanto un punto, también pueden ser paralelas.

Esta excepción desaparece en el caso del plano proyectivo, pues en él, por definición, cada haz de rectas paralelas define un punto del infinito, por lo que se dice aquello de que las rectas paralelas se cortan "en el infinito".

La completa simetría de estas dos proposiciones ("dos puntos definen una recta", "dos rectas definen un punto") en el plano proyectivo es la base del principio de dualidad, truco genial por el cual todo lo que se dice de los puntos puede decirse de las rectas, y al revés (esta simetría puede entenderse si pensamos que para situar un punto en el plano se necesitan dos números, sus coordenadas, y para situar una recta, igualmente dos números: su pendiente y su ordenada en el origen).

Veamos la potencia del principio de dualidad con un ejemplo:

Teorema de Pascal

Estamos en los años treinta del siglo XVII. El joven Pascal acudía, acompañando a su padre, a las reuniones matemáticas organizadas en París por Mersenne, y allí quedó fascinado por los trabajos de Desargues. Producto de esta fascinación, hacia 1639 y con tan solo dieciseis años, Pascal demostró el teorema que ahora lleva su nombre (él lo llamó mysterium hexagrammicum) y que afirma que los seis vértices de un hexágono están sobre una cónica si y solo si los tres puntos comunes a los tres pares de lados opuestos están en una recta común (ojo: estamos en el plano proyectivo, de modo que si dos rectas son paralelas el punto común será un punto del infinito).

En el esquema, los puntos azules son los focos y un punto de una elipse, mientras que los rojos
son los vértices del hexágono del que habla el teorema. Tanto unos como otros se pueden arrastrar.

A partir de este teorema Pascal demostraría del orden de 400 teoremas y corolarios. Es de señalar que ni en el enunciado ni en la demostración del teorema aparece en ningún momento magnitud alguna de ángulos o segmentos, lo cual es suficiente, como dijo E. T. Bell, "para abolir la estúpida definición de las matemáticas [...] como ciencia de la 'cantidad'".

La proyectividad del teorema se ve fácilmente si pensamos en el esquema como la sección de un cono mediante un plano. Si después, sobre el mismo cono, realizamos otra sección, la proyección de todos los elementos (puntos, rectas, la propia cónica) compondrá otro mysterium hexagrammicum.

Teorema de Brianchon

Seguimos en Francia, pero más de siglo y medio después, y con otro joven, esta vez de veintiún años, Charle Julien Brianchon, estudiante de la École Polytechnique, donde en 1806 publicaría su teorema, que afirma que los seis lados de un hexágono son tangentes a una cónica si y solo si las tres rectas que unen los tres pares de vértices opuestos tienen una punto común.

En el esquema, los puntos azules son los focos y un punto de una elipse, mientras
que los rojos son los seis puntos de tangencia de los lados del hexágono con la elipse.
Tanto unos como otros se pueden arrastrar.

Si comparamos los esquemas de los teoremas de Pascal y Brianchon puede que no encontremos demasiadas semejanzas. Sin embargo, gracias a la geometría proyectiva y al principio de dualidad, podemos ver que son completamente equivalentes: si en el enunciado del teorema de Pascal sustituimos 'punto' por 'recta' y 'recta' por 'punto' y consideramos que una recta 'está sobre una cónica' cuando es 'tangente a la cónica', obtenemos sorprendentemente el teorema de Brianchon:

"Los seis vértices/lados de un hexágono están sobre una cónica si y solo si los tres puntos/rectas comunes a los tres pares de lados/vértices opuestos tienen una recta/punto común."

Este par de teoremas no son solo centrales en el estudio proyectivo de las cónicas, sino que constituyen el primer ejemplo claro en geometría, dice Boyer, de dos teoremas duales. Sin embargo, sería otro francés, contemporáneo de Brianchon, y considerado como el padre de la geometría proyectiva, quién explotaría con efectividad el principio de dualidad: Poncelet.


Men of mathematics, pp.78, 216; Boyer, pp.454, 657.

Archivo GeoGebra Pascal
Archivo GeoGebra Brianchon

 
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