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La invención de los sistemas de coordenadas

Hay en la historia de la ciencia en general y en la de la matemática en partícular momentos especialmente brillantes en los que se produce la puesta en contacto de dos campos de investigación hasta ese momento separados. Este encuentro permite aplicar las técnicas desarrolladas para resolver ciertos problemas a la resolución de otros en apariencia completamente distintos pero que de pronto se revelan equivalentes a los originales. El resultado es una auténtica revolución en la que el habitualmente pausado avance de la ciencia se hace vertiginoso.

Uno de estos momentos felices se produjo en el siglo XVII con la invención de la geometría análítica. Dejemos que sea su inventor, René Descartes, quien describa el programa de esta especialidad matemática:

"Entonces, si queremos resolver cualquier problema, supondremos primero que la solución ya está efectuada y daremos nombres a todas las líneas que parezcan necesarias para su construcción, tanto a aquellas que son desconocidas como a las que ya lo son. Entonces, sin hacer distinción entre líneas conocidas o desconocidas, debemos desentrañar la dificultad de manera que muestre lo más naturalmente las relaciones entre esas líneas, hasta que encontremos posible expresar una cantidad simple de dos maneras. Esto constituirá una ecuación, dado que los términos de una de esas dos expresiones son en conjunto iguales a los términos de la otra." [La Géométrie, p.6.]

La geometría analítica se basa pues en una correspondencia entre las curvas estudiadas por la geometría y las ecuaciones estudiadas por el álgebra, lo que permite reformular los problemas geométricos en términos algebraicos. Esta correspondencia se basa, a su vez, en la correspondencia que establecieron simultáneamente Descartes y Pierre de Fermat entre los puntos del plano y los pares ordenados de números: las coordenadas.

Coordenadas cartesianas o rectangulares

Se cuenta que el origen de todo esto fue en verdad sosegado: un día, tirado en la cama de mañana, mientras veía el movimiento de una mosca por el techo, Descartes ideó la forma de representar un punto mediante un par de números que indicasen su distancia respecto de dos de las paredes del cuarto.

Coordenadas cartesianas

En la figura, el punto A se halla en horizontal a dos unidades del eje vertical, y en vertical a dos del horizontal. Se dice entonces que sus coordenadas son (2, 3). A la primera de ellas se le llama abscisa, y a la segunda, ordenada.

Independientemente de la veracidad de la historia, lo cierto es que el sistema de coordenadas que Descartes expuso en su obra La Géométrie no era exactamente como el que usamos hoy (vamos, que las coordenadas que utilizaba Descartes no eran cartesianas): solo el eje horizontal era dado, mientras que el otro se escogía, no necesariamente perpendicular, según las circunstancias del problema. Además, solo consideraba las curvas dentro del primer cuadrante.

Como se ha dicho, Fermat también dio los primeros pasos de la geomería analítica, y utilizó además preferentemente ejes perpendiculares. Sin embargo, una publicación posterior y una notación farragosa impidieron que llegara a tener la influencia que tuvo La Géométrie de su colega y compatriota.

Una vez establecida la correspondencia entre puntos y coordenadas, el siguiente concepto necesario para el desarrollo de la geometría analítica es el de lugar geométrico, ya manejado por autores antiguos como Apolonio. Consiste en considerar conjuntos formados por los puntos que cumplen unas determinadas condiciones. Si estas condiciones se expresan como una relación entre las coordenadas de un punto genérico, tenemos la ecuación de la curva.

Lugar geométrico

La circunferencia de radio 1 centrada en el origen se puede describir como el lugar geométrico de los puntos del plano que distan una unidad del origen (el punto O). Si llamamos x e y a las coordenadas de un punto cualquiera de la circunferencia y aplicamos el teorema de Pitágoras al triángulo recto que se ve en la figura, se tiene que . Pues bien: esta relación entre las coordenadas de un punto genérico es a lo que se llama ecuación de la curva. Su sentido es claro: cualquier par de números que cumplan la ecuación son coordenadas de un punto del lugar geométrico.

Coordenadas polares

Siendo el truco magnífico, en algunos casos las ecuaciones obtenidas mediante las coordenadas cartesianas son bastante farragosas. Por eso se buscaron otras correspondencias entre geometría y álgebra, entre puntos y números. Así, en su obra Método de Fluxiones (1671), Newton presentó hasta ocho tipos distintos de sistemas de coordenadas. Su “séptima manera” es lo que hoy conocemos por coordenadas polares. (Se cree que las inventó Newton, aunque la prioridad de la publicación se debe a Jacques Bernouilli).

En cierto sentido son más naturales que las cartesianas, pues de lo que se trata es de localizar un punto mediante su distancia (el módulo) al lugar que se elija como origen de coordenadas y su orientación (el argumento) respecto de una semirrecta que hemos elegido como ángulo cero.

Coordenadas polares

En la figura, el punto A tiene un módulo de 4 unidades, mientras que su argumento es de π/4 radianes (o 45º). Por lo tanto, las coordenadas polares del punto A son (4, π/4).

Son muchas las curvas que tienen una forma tremendamente elegante expresadas en polares: así, la espiral de Arquímedes tiene por ecuación r = θ (es decir: sus puntos son tales que su módulo y su argumento coinciden), mientras que la espiral logarítmica queda definida por . Basta comparar con sus ecuaciones cartesianas, \(\sqrt{x^2+y^2}=arccos\left(\dfrac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}\right)\) y \(\sqrt{x^2+y^2}=e^{arccos(\dfrac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}}\) respectivamente, para darse cuenta de las ventajas de las coordenadas polares.

Coordenadas paramétricas

La generalización en el uso de un nuevo sistema de representación más sofisticado se debe al genio de Euler y Gauss, quienes lo usaron ampliamente en el estudio de curvas y superficies. Las coordenadas paramétricas tiene la ventaja de ser intrínsecas, pues no dependen de unos ejes externos como en el caso de las coordenadas cartesianas, sino que se basan en un sistema de referencia incluido en el propio objeto. Además, el número de parámetros necesarios para describir el objeto geomético estudiado indica su dimensión (uno en el caso de las curvas).

Un ejemplo de coordenadas paramétricas son las utilizadas sobre la Tierra (la longitud y la latitud), dos parámetros que no se refieren a un sistema de coordenadas cartesiano externo a nuestro planeta, que sería de tres dimensiones, sino a unos círculos imaginarios situados sobre la propia superficie terrestre, que obviamente es bidimensional (siempre que nos olvidemos, claro está, de pequeñas rugosidades como cordilleras y fosas marinas).

Para poder visualizar el objeto estudiado necesitamos poder transformar las coordenadas paramétricas en coordenadas cartesianas. Para ello se expresan las relaciones entre ambos sistemas de representación mediante las llamadas ecuaciones paramétricas, que tienen además la característica de generar la curva.

Ecuaciones paramétricas

Para obtener los puntos de la elipse de la figura basta darle valores al parámetro t en las ecuaciones \[\left\{\begin{array}{l} x=\frac{3}{2}{\rm cos t}\\y={\rm sen t}\end{array}\right.\]

Al hacerlo, se ve que dichos puntos están sobre la curva en el mismo orden que los valores del parámetro.

Para terminar

Si la geometría analítica nació con la idea de convertir las curvas en ecuaciones, el camino de vuelta, consistente en la invención de nuevas curvas a partir de ecuaciones, resultó una sorpresa extraordinaria. Un nuevo mundo había sido descubierto y las limitaciones de la geometría con regla y compás olvidadas para siempre.


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Bibliografía

 
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Epsilones. Página + o - matemática de Alberto. Correo: alberto@epsilones.com. En la red desde el 4-7-2002 (ya hace). Última actualización: ver Novedades.
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