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Descubrimiento de las relaciones numéricas entre los sonidos armónicos

Una de las aportaciones más importantes de Pitágoras fue su descubrimiento de que las longitudes de las cuerdas que emiten sonidos armónicos guardan entre sí relaciones numéricas simples: por ejemplo, dada la nota do, para conseguir otro do pero más bajo usaremos una cuerda el doble de larga, es decir, en relación 2:1, y para las notas intermedias en orden ascendente (re, mi, fa...) usaremos cuerdas cuyas longitudes mantengan, respecto de la original, las relaciones 16:9, 8:5, 3:2, 4:3, 6:5, 16:15.

Posiblemente fue este el primer caso de descripción matemática de un proceso físico, pero para Pitágoras fue mucho más: razonó que si la música se podía explicar mediante cocientes de números enteros, el universo entero también podría explicarse con ellos.

Dicho de otra manera, Pitágoras creía haber encontrado el secreto del universo, la gran fórmula mágica, el lenguaje de los dioses. Este exceso de optimismo tuvo dos consecuencias negativas. La primera fue que los pitagóricos se convirtieron en una especie de secta, con ceremonias secretas, y que confirieron a los números valores mágicos (lo cual, por otra parte, ya hacían anteriormente los mesopotámicos).

La segunda fue incluso peor: estaban tan convencidos del poder explicativo de los cocientes de números enteros que cuando descubrieron la existencia de números que no se podían expresar así, por ejemplo la raíz cuadrada de dos o π, los vieron como una auténtica aberración, como algo que en realidad no podía existir. Hoy los llamamos irracionales.

Apéndice:

Habitualmente, las relaciones numéricas entre las notas musicales se expresan en función de su frecuencia (vibraciones por segundo), y tomando como base el do bajo, según se indica en la siguiente tabla:

do
re
mi
fa
sol
la
si
do
264
297
330
352
396
440
495
528
1/1
9/8
5/4
4/3
3/2
5/3
15/8
2/1

De esta manera, el intervalo de quinta (el paso de do a sol), se obtiene multiplicando por 3/2; el intervalo de cuarta (paso de do a fa) multiplicando por 4/3, y así para los demás.

Obsérvese que si la longitud de la cuerda aumenta en cierta proporción, la frecuencia disminuye en esa misma proporción. El sentido físico de esto es el siguiente: la longitud de la cuerda es la mitad de la longitud de onda que genera al ser pulsada. Como v = λ·ν, donde v es la velocidad de propagación de la cuerda, λ la longitud de onda y ν la frecuencia, se tiene que si usamos cuerdas de las mismas características (y por tanto con la misma velocidad de propagación), la longitud de la cuerda y la frecuencia serán magnitudes inversamente proporcionales.


La ilustración correponde a una página de Theorica musicae, de Franchinus Gaffurius.

Bibliografía

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Epsilones. Página + o - matemática de Alberto. Correo: alberto@epsilones.com. En la red desde el 4-7-2002 (ya hace). Última actualización: ver Novedades.
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