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Antes de Mandelbrot

Se podría dar la fecha de 1975 como inicio de la historia de la geometría fractal, pues fue en tal año cuando Benoît Mandelbrot acuñó este término. Sin embargo, nada sale de la nada, y en buena medida la genialidad del matemático francés consistió en unificar en una nueva rama de la matemática lo que hasta entonces habían sido trabajos muy separados y por lo general periféricos. Algunos de ellos fueron de tipo más teórico, como los de Poincaré, Hausdorff, Julia o Fatou, pero otros consistieron en el descubrimiento de extraños conjuntos, calificados por algunos como monstruosos, que vistos retrospectivamente resultan ser fractales. Veamos algunos de ellos.

Conjunto de Cantor

Quizá sea este el primer objeto fractal de la historia de la matemática. Su construcción es sencilla: dado un segmento, le quitamos su tercera parte central. A los dos segmentos resultantes le aplicamos el mismo proceso, que volvemos a repetir en todos los demás segmentos que se van produciendo hasta el límite.

El conjunto de Cantor se caracteriza por tener longitud cero, pues no contiene ningún intervalo (por lo que a veces se le llama Polvo de Cantor). Lo asombroso es que contiene tantos puntos como toda la recta real.

Curva de Hilbert

Aunque la primera de las curvas que llenan el plano se debe a Peano (1890), Hilbert construyó esta otra más fácilmente visualizable. En la figura se pueden ver los cinco primeros pasos de un proceso que en el límite da lugar a la curva de Hilbert. Su característica principal es que recorre todos y cada uno de los puntos del cuadrado que la contiene. Dicho de otra manera: su dimensión fractal es ¡dos!

Curva de Koch

En 1904 el suizo Helge von Koch produjo la siguiente curva, cuya regla de construcción se muestra en la figura de la derecha: dado un segmento se divide este en tres de igual longitud y se sustituye el del centro por otros iguales que él colocados en forma de ángulo. La curva de Koch es el resultado de llevar el proceso al límite, y uno de los ejemplos más conocidos de atractores de IFS.


Uniendo tres de tales curvas colocadas en forma de triángulo obtenemos el famoso copo de nieve (izquierda), de indudable belleza pero carente en sí mismo de la propiedad de la autosimilitud que sí tienen cada una de sus partes.Sin embargo, el copo de nieve de Koch nos guarda una sorpresa: mientras que la superficie que encierra tiene un área finita, su longitud es, sin embargo, infinita.

 

 

Triángulo de Sierpinsky

Fue en el año 1915 cuando el matemático polaco W. Sierpinsky introdujo esta versión bidimensional del Conjunto de Cantor. En la figura se pueden ver los seis primero pasos, pero el proceso sigue hasta el infinito. En el triángulo de Sierpinsky se ve perfectamente la propiedad de la autosimilitud: si se coge un subtriángulo cualquiera y se amplía se obtiene una triángulo igual que el original. Es otro ejemplo de atractor de IFS.

Además de tener aplicación práctica como forma ideal para las antenas de radiotelefonía, el triángulo de Sierpinsky aparece en los lugares más insospechados: como imagen de los números pares del triángulo de Pascal; como representación del problema de las torres de Hanoi; como imagen del operador lógico NAND...

Para terminar, una pregunta: ¿cuál es la superficie triángulo de Sierpinsky?


Introduction to fractals and chaos, passim; La geometría fractal de la naturaleza, passim.
 
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Epsilones. Página + o - matemática de Alberto. Correo: alberto@epsilones.com. En la red desde el 4-7-2002 (ya hace). Última actualización: ver Novedades.
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