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La sección áurea y la Gran Pirámide de Guiza

La gran pirámide de Guiza se construyó hace 4500 años aproximadamente y se incluyó entre las Siete Maravillas del Mundo, siendo la más antigua y sin embargo la única que se conserva en la actualidad.

Leyendas de todo tipo han acompañado a cualquier manifestación de esta cultura fascinante y desconocida: sus dioses, sus faraones, sus jeroglíficos y, por supuesto, sus increíbles templos y construcciones funerarias nos hablan de grandeza y de misterio. Y de saberes ocultos celosamente guardados por poderosos sacerdotes.

Entre estos saberes secretos se hallan, cómo no, los conocimientos matemáticos. Mucho se ha escrito sobre las matemáticas de las pirámides, y se pueden leer todo tipo de fantásticas relaciones numéricas encarnadas en las formas y medidas de esas enormes moles de piedra.

La cuestión es que efectivamente hay matemáticas, y no hay más que fijarse en la forma elegida, pero quizá no tantas como se cree. Veamos un ejemplo de estos supuestos conocimientos: imaginemos que alguien mos muestra el siguiente dibujo, en el que la letra φ representa la sección áurea.

Lo que nos dice es que si consideramos la base de la pirámide como de longitud dos, entonces su apotema vale φ y su altura la raíz cuadrada de φ. No está mal para una construcción de hace 4500 años, ¿verdad? Pues es cierto: las dimensiones de la Gran Pirámide de Gizeh se ajustan al esquema representado. Sin embargo...

Según el historiador griego Herodoto, la Gran Pirámide de Guiza se construyó de modo que la superficie de una cara fuese igual a la de un cuadrado que tuviese por lado la altura de la pirámide. Es decir: el apótema de la pirámide, la distancia que va desde la cúspide de la pirámide hasta el punto medio de una de las aristas horizontales, se eligió de modo que la superficie de cada una de las caras triangulares fuese igual al cuadrado de la altura. Es esto algo desde luego bastante sencillo de calcular (se pueden conseguir las medidas necesarias por el método de prueba y error, por ejemplo), y para nada implica conocer la sección áurea.

¿Entonces? ¿Por qué se verifica el esquema de arriba? La contestacion es sencilla: por pura casualidad. Veamos de nuevo el esquema, pero cambiando las letras: A para el apotema y H para la altura:

Si escribimos matemáticamente lo dicho por Herodoto, tenemos

\[H^2=\frac{2·A}{2}=A\]

Ahora, si aplicamos el teorema de Pitágoras al triángulo rectángulo de la figura, tenemos \[A^2=1^2+H^2\] que, junto con la anterior, forma un sencillo sistema de ecuaciones:

Sustituyendo \(H^2=A\) en \(A^2=1^2+H^2\), se tiene

\[A^2=A+1\]

Resolviendo la ecuación de segundo grado tenemos que

\[A=\frac{1+\sqrt{5}}{2}=\phi\]

y, por tanto, como \(H^2 = A\)

\[H=\sqrt{A}=\sqrt{\phi}\]

Total, que si alguien decidió construir la pirámide cumpliendo la condición descrita por Herodoto estaba, sin tener por qué saberlo, expresando la sección áurea.

***

Imaginemos que uno se encuentra un círculo grabado en una piedra por un hombre del Paleolítico. Imaginemos que mide su perímetro, su diámetro, los divide, obtiene el valor 3,16 y concluye que en el Paleolítico los hombres conocían el valor de \(\pi\). Una tontería, ¿verdad? Pues esto pasa más veces de lo que podría suponerse.


Bibliografía

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Epsilones. Página + o - matemática de Alberto. Correo: alberto@epsilones.com. En la red desde el 4-7-2002 (ya hace). Última actualización: ver Novedades.
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