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Identificaciones topológicas

Dejando de lado todo rigor, podemos decir que la topología es una geometría sin medidas, valga la contradicción. Las propiedades que estudia son aquellas que resultan invariantes por transformaciones continuas. Esto se traduce en que los objetos de estudio pueden estirarse, encogerse y deformarse lo que queramos siempre que no se rompan o agujereen.

Con esta idea en mente, vamos a aplicar la técnica de la identificación topológica a los lados de un cuadrado. Esto de la identificación significa que vamos a considerar puntos en principio distintos como si fuesen en realidad el mismo punto. Aunque parezca extraño, con los sucesivos ejemplos el procedimiento quedará claro.

1. Identificación de dos lados paralelos.

1.1 Con igual sentido.

Si observamos el cuadrado, veremos que dos de los lados están adornados con sendas flechas. Ambas tienen el mismo sentido. Si identificamos ambos lados en el sentido de dichas flechas, es obvio que obtendremos un cilindro.

1.2 Con distinto sentido.

Ahora las flechas tienen sentidos contrarios. Para poder pegar ambos lados deberemos darle media vuelta a uno de ellos para que las flechas se encuentren apuntando en el mismo sentido. Como estamos en topología, el cuadrado lo podimos estirar verticalmente todo lo que queramos para poder realizar la operación cómodamente. Lo que obtenemos es una cinta de Moebius.

En el Laboratorio se explica cómo construirla.

2. Identificación de dos pares de lados paralelos.

2.1 Ambos pares con igual sentido.

Identificando dos lados paralelos obtenemos el cilindro. Ahora, para identificar los otros dos lados, que se han convetido en dos circunferencias, basta retorcerlo para poder pegar dichas circunferencias siguiendo el sentido de las flechas. Lo que obtenemos es una forma de rosquilla o lo que en matemáticas llamamos toro.

En el Laboratorio tenemos una construcción engordando curvas.

2.2 Un par con el mismo sentido y otro con sentido contrario.

La cosa se complica, ¿verdad? Al retorcer el cilindro no podemos simplemente pegar sus extremos, porque las caras se encontrarían con flechas en sentidos opuestos. Necesitamos de alguna forma meter uno de los extremos en el otro extremo del cilindro para hacer coincidir las flechas. El resultado es una botella de Klein.

En el Laboratorio tenemos una construcción engordando curvas.

2.3 Ambos pares con sentido contrario.

Aquí al imaginación visual se encuentra con serios aprietos. Debemos partir de una cinta de Moebius y luego pegar la mitad de su único lado con la otra mitad en sentidos contrarios. Una forma de visualizar esta superficie es el plano proyectivo.

La siguiente construcción permite explorar estas cinco superficies.

Nota: las figuras pueden moverse arrastrando con el botón derecho.


Archivo GeoGebra

 
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Epsilones. Página + o - matemática de Alberto. Correo: alberto@epsilones.com. En la red desde el 4-7-2002 (ya hace). Última actualización: ver Novedades.
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