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Noche y el Profesor

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Sumas de cuadrados consecutivos

1. Esta historia empieza con una comunicación de Luis Gómez en la que, entre otras muchas fórmulas, escribe:

\[10^2+11^2+12^2=13^2+14^2\]

\[21^2+22^2+23^2+24^2=25^2+26^2+27^2\]

2. Tras comprobar que son verdad, me planteo si tras estas dos igualdades hay algo más general. Pensando en menos sumandos, otra fórmula aparece inmediatamente:

\[3^2+4^2=5^2\]

3. Escribo los primeros números de cada fórmula: 3, 10, 21 y me pregunto cual será el siguiente. De 3 a 10 van 7. De 10 a 21 van 11. El siguiente primo es 13, ¿quizá sea 34 = 21+13? Pruebo y no. Sin embargo, con 36 sí que funciona.

\[36^2+37^2+38^2+39^2+40^2=41^2+42^2+43^2+44^2\]

4. Tenemos los números 3, 10, 21, 36

Estudio sus diferencias:

3   10   21   36
  7   11   15  
    4   4    

Al segundo nivel tengo coincidencia. Podría tratarse de una sucesión cuadrática de la forma \(an^2+bn+c\).

5. Escribo las ecuaciones:

Si n = 1 \(a+b+c=3\)

Si n = 2 \(4a+2b+c=10\)

Si n = 3 \(9a+3b+c=21\)

Resolviendo, resulta que a = 2, b = 1 y c = 0.

Por tanto, el primer número de cada fórmula, al menos hasta n = 3, viene dado por la expresión \(a_n=2n^2+n\)

6. Pruebo:

Con n = 4 da 36, que es lo que tenía que dar.

Con n = 5, sale 55. ¡Y funciona!:

\[55^2+56^2+57^2+58^2+59^2+60^2=61^2+62^2+63^2+64^2+65^2\]

7. ¿Vale para todo \(n\ge1\)?

a) Escribimos una fórmula utilizando el término general para el primer número obtenido en 5.:

\[\displaystyle\sum_{i=0}^n{(2n^2+n+i)^2}=\sum_{i=0}^{n-1}{(2n^2+2n+1+i})^2\]

b) Reagrupo términos, desarrollo y simplifico lo que se pueda:

\[\displaystyle\sum_{i=0}^n{(2n^2+n+i)^2}=\sum_{i=0}^{n-1}{[(2n^2+n+i)+(n+1)]^2}\]

\[\displaystyle\sum_{i=0}^n{(2n^2+n+i)^2}=\sum_{i=0}^{n-1}{[(2n^2+n+i)^2+(n+1)^2+2(2n^2+n+i)(n+1)]}\]

\[\displaystyle\sum_{i=0}^n{(2n^2+n+i)^2}-\sum_{i=0}^{n-1}{(2n^2+n+i)^2}=\sum_{i=0}^{n-1}{[(n+1)^2+2(2n^2+n+i)(n+1)]}\]

\[(2n^2+2n)^2=(n+1)\sum_{i=0}^{n-1}{[(n+1)+2(2n^2+n+i))]}\]

\[4n^2(n+1)^2=(n+1)\sum_{i=0}^{n-1}{[4n^2+3n+1+2i]}\]

\[4n^2(n+1)=\sum_{i=0}^{n-1}{[4n^2+3n+1+2i]}\]

c) El miembro de la derecha es la suma de los términos de una progresión aritmética. Los sumanos:

\[\sum_{i=0}^{n-1}{[4n^2+3n+1+2i]}=\dfrac{(4n^2+3n+1)+(4n^2+3n+1+2(n-1))·n}{2})=\dfrac{(8n^2+8n)·n}{2}=4n^2(n+1)\]

Luego ambos miembros son iguales y la fórmula que escribimos al principio del punto 7 es, por tanto, correcta y nos da infinitas fórmulas del tipo propuesto por Luis.

8. Otro ataque más directo es el siguiente: a partir de las fórmulas de 1., podemos preguntarnos por las x que cumplen:

\[\displaystyle\sum_{i=0}^n{(x+i)^2}=\sum_{i=0}^{n-1}{(x+n+1+i})^2\]

Con una descomposición similar a la del punto anterior, lleganos a la fórmula: \[x^2-2n^2x-2n^3-n^2=0\]

Resolviendo la ecuación en x, tenemos dos soluciones: \(x_1=2n^2+n\) y \(x_2=-n\).

La primera es la que habíamos obtenido previamente. ¿Y la segunda? Pues la solución \(x = -n\) nos da fórmulas triviales como la siguiente, para n = 3: \[(-3)^2+(-2)^2+(-1)^2+0^2=1^2+2^2+3^2\]

9. A modo de resumen y ejemplo, van a continuación las primeras fórmulas:

\[3^2+4^2=5^2\]

\[10^2+11^2+12^2=13^2+14^2\]

\[21^2+22^2+23^2+24^2=25^2+26^2+27^2\]

\[36^2+37^2+38^2+39^2+40^2=41^2+42^2+43^2+44^2\]

\[55^2+56^2+57^2+58^2+59^2+60^2=61^2+62^2+63^2+64^2+65^2\]

\[78^2+79^2+80^2+81^2+82^2+83^2+84^2=85^2+86^2+87^2+88^2+89^2+90^2\]

\[105^2+106^2+107^2+108^2+109^2+110^2+111^2+112^2=113^2+114^2+115^2+116^2+117^2+118^2+119^2\]

10. Siempre conviene terminar con una pregunta. Las sumas anteriores dan los números 25, 365, 2030, 7230, 19855, 45955 y 94220. ¿Podrías encontrar un término general para ellos?

Pista: tiene toda la pinta de ser una cuártica.


► La colección de fórmulas de Luis.

 
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Epsilones. Página + o - matemática de Alberto. Correo: alberto@epsilones.com. En la red desde el 4-7-2002 (ya hace). Última actualización: ver Novedades.
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