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Cónicas: de la sección plana al lugar geométrico

Introducción

En las dos décadas que llevo trabajando en la enseñanza he contado las cónicas mucha veces. Siempre lo he hecho mediante las dos aproximaciones clásicas, a saber: como secciones planas de un cono y también como lugares geométricos basados en propiedades métricas. Como, además, suelo aderezar la explicación con las propiedades de reflexión de estas curvas, pues la cosa suele salir bien.

Sin embargo, hace poco, tras llevar cierto tiempo poniendo en limpio el material que tenía por ahí disperso en Epsilones acerca de las cónicas, me di cuenta, no sin cierta vergüenza, de que nunca me había demostrado a mí mismo que ambas construcciones, cónica y métrica, daban lugar al mismo tipo de objetos. Puesto a la tarea, obtuve lo que viene a continuación. Quizá haya métodos más elegantes de demostrar la equivalencia de ambas familias de curvas: de hecho, el trabajo del propio Apolonio no fue, obviamente, analítico, sino basado en semejanzas de triángulos, pero yo me muevo mejor con las ecuaciones y cada uno hace lo que puede.

Lo mejor de todo es que, en el proceso, no solo me demostré lo que ya sabía, sino que obtuve algo que no sabía. Tras pasar de la ecuación de la sección cónica a la ecuación como lugar geométrico, y para acabar de cerrar el círculo, obtuve la excentricidad de la cónica a partir del ángulo \(\beta\) que forma la generatriz del cono con la horizontal y del ángulo \(\alpha\) que forma, también con la horizontal, el plano secante. Como verás más abajo, hay varios casos, y las expresiones iniciales son algo confusas, pero luego la cosa se simplifica y acaba apareciendo una expresión de gran elegancia.

La idea general

A partir de la ecuación de una sección cónica, expresada en función de los ángulos \(\alpha\) y \(\beta\), voy a obtener la ecuación reducida de dicha cónica, expresada en funciòn de sus semiejes a y b.

Esto lo voy a hacer para lo tres casos que se pueden presentar según el plano secante tenga una inclinación menor, mayor o igual que la generatriz del cono (para cubrir todas las posibilidades añado un cuarto caso que considera un plano vertical que no contiene a OZ).

Al obtener las ecuaciones, demuestro además que los casos citados corresponden, respectivamente, a elipses, hipérbolas y parábolas.

Finalmente, definida la excentricidad métricamente a partir de los semiejes de las cónicas, demuestro que, en todos los casos, esta puede calcularse mediante la fórmula: \[\epsilon=\dfrac{sen\alpha}{sen\beta}\]

La fórmula anterior permite, dada una cónica cualquiera, escoger un cono y un plano cuyo corte es la conica deseada, lo cual cierra el viaje de ida y vuelta entre las dos formas de definir estas curvas.

La ecuación

Sea \(\beta\) el ángulo que forma la generatriz de un cono con la horizontal, \(\alpha\) el ángulo que forma, también con la horizontal, el plano secante y \((0, 0, q)\) un punto de dicho plano. En estas condiciones, como se vio en Secciones planas de un cono, la ecuación de la cónica resultante es:

\[y^2=x^2\left(\dfrac{sen^2\alpha}{tg^2\beta}-cos^2\alpha\right)+x\dfrac{2qsen\alpha}{tg^2\beta}+\dfrac{q^2}{tg^2\beta}\]

donde \((0\leq\alpha\leq90º )\) y \((0<\beta<90º )\).

Multiplicando por \(tg^2\beta\) se tiene

\[y^2tg^2\beta=x^2\left(sen^2\alpha-cos^2\alpha tg^2\beta\right) +2xqsen\alpha+q^2\]

y, simpificando un poco,

\[y^2tg^2\beta=x^2\left(1-\dfrac{cos^2\alpha}{cos^2\beta}\right)+2xqsen\alpha+q^2\ \ \ \ \ \ [1]\]

A partir de aquí vamos distinguir tres casos según sea la relación entre \(\alpha\) y \(\beta\):

1. \(\alpha < \beta\)

Si \(\alpha < \beta\), para los valores de los ángulos considerados, se tiene que : \(\dfrac{cos^2\alpha}{cos^2\beta}>1\)

Llamamos A = \(\sqrt{\dfrac{cos^2\alpha}{cos^2\beta}-1}\)

Sustituyendo en [1]

\[y^2tg^2\beta=-x^2A^2+2xqsen\alpha+q^2\]

Traemos a la izquierda y ponemos en forme de potencia de un binomio:

\[y^2tg^2\beta+\left(xA-\dfrac{qsen\alpha}{A}\right)^2-\dfrac{q^2sen^2\alpha}{A^2}=q^2\]

\[y^2tg^2\beta+\left(xA-\dfrac{qsen\alpha}{A}\right)^2=q^2\left(1+\dfrac{sen^2\alpha}{A^2}\right)\]

\[y^2tg^2\beta+A^2\left(x-\dfrac{qsen\alpha}{A^2}\right)^2=q^2\left(1+\dfrac{sen^2\alpha}{A^2}\right)\]

Dividiendo:

\[\dfrac{\left(x-\dfrac{qsen\alpha}{A^2}\right)^2}{\dfrac{1}{A^2}q^2\left(1+\dfrac{sen^2\alpha}{A^2}\right)}+\dfrac{y^2}{\dfrac{1}{tg^2\beta}q^2\left(1+\dfrac{sen^2\alpha}{A^2}\right)}=1\ \ \ \ \ \ [2]\]

En la ecuación anterior los dos denominadores son evidentemente positivos, por lo que nos encontramos ante la ecuación de una elipse desplazada a lo largo del exe OX: \[\dfrac{x^2-x_0}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1\].

Vamos a calcular su excentricidad:

\[\epsilon=\dfrac{c}{a}=\dfrac{\sqrt{a^2-b^2}}{a}=\sqrt{1-\dfrac{b^2}{a^2}}\]

Sustituyendo \(a^2\) y \(b^2\) por los denominadores de [2] tenemos:

\[\epsilon=\sqrt{1-\dfrac{\dfrac{1}{tg^2\beta}q^2\left(1+\dfrac{sen^2\alpha}{A^2}\right)}{\dfrac{1}{A^2}q^2\left(1+\dfrac{sen^2\alpha}{A^2}\right)}}=\sqrt{1-\dfrac{A^2}{tg^2\beta}}=\sqrt{1-\dfrac{\sqrt{\dfrac{cos^2\alpha}{cos^2\beta}-1}^2}{tg^2\beta}}\]

Simplificando un poco, y no es broma, se llega a que:

\[\epsilon=\dfrac{sen\alpha}{sen\beta}\]

2. \(\alpha > \beta\)

Si \(\alpha > \beta\), para los valores de los ángulos considerados, se tiene: \(\dfrac{cos^2\alpha}{cos^2\beta}<1\)

Llamamos A = \(\sqrt{1-\dfrac{cos^2\alpha}{cos^2\beta}}\)

Sustituyendo en [1]

\[y^2tg^2\beta=x^2A^2+2xqsen\alpha+q^2\]

Repitiendo el proceso del punto 1., se llega a la ecuación

\[\dfrac{\left(x+\dfrac{qsen\alpha}{A^2}\right)^2}{\dfrac{1}{A^2}q^2\left(\dfrac{sen^2\alpha}{A^2}-1\right)}-\dfrac{y^2}{\dfrac{1}{tg^2\beta}q^2\left(\dfrac{sen^2\alpha}{A^2}-1\right)}=1\ \ \ \ \ \ [3]\]

En la ecuación anterior los dos denominadores son positivos (se demuestra utilizando que \(cos\alpha<cos\beta\)), por lo que nos encontramos ante la ecuación de una hipérbola desplazada a lo largo del exe OX: \[\dfrac{x^2-x_0}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1\].

Veamos la excentricidad:

\[\epsilon=\dfrac{c}{a}=\dfrac{\sqrt{a^2+b^2}}{a}=\sqrt{1+\dfrac{b^2}{a^2}}\]

Sustituyendo \(a^2\) y \(b^2\) por los denominadores de [3] y simplificando llegamos de nuevo a la fórmula

\[\epsilon=\dfrac{sen\alpha}{sen\beta}\]

3. \(\alpha = \beta\)

Si ambos ángulos son iguales, la ecuación de partida

\[y^2=x^2\left(\dfrac{sen^2\alpha}{tg^2\beta}-cos^2\alpha\right)+x\dfrac{2qsen\alpha}{tg^2\beta}+\dfrac{q^2}{tg^2\beta}\]

queda:

\[y^2=x^2\left(\dfrac{sen^2\alpha}{tg^2\alpha}-cos^2\alpha\right)+x\dfrac{2qsen\alpha}{tg^2\alpha}+\dfrac{q^2}{tg^2\alpha}\]

Simplificando:

\[y^2=2qcos\alpha x+\dfrac{q^2}{tg^2\alpha}\]

que es la ecuación de una parábola con eje de simetría horizontal y desplazada respecto de dicho eje:

\[y^2=2p(x-x_0)\]

La excentricidad de un parábola es uno, lo cual concuerda con la fórmula obtenida en los dos casos anteriores: \[\epsilon=\dfrac{sen\alpha}{sen\beta}=\dfrac{sen\alpha}{sen\alpha}=1\]

4. Plano vertical

El único caso que queda por considerar es el de la sección obtenida al cortar el cono con un plano vertical \((\alpha=90º)\) que no pase por el origen.

Como se vio en Secciones planas de un cono, la ecuación de una sección así es:

\[\dfrac{z^2}{tg^2\beta}-y^2=r^2\]

Dividiendo por \(r^2\) se tiene

\[\dfrac{z^2}{r^2tg^2\beta}-\dfrac{y^2}{r^2}=1\ \ \ \ \ [4]\]

que es, de nuevo, la ecuación de una hipérbola.

La excenticidad será:

\[\epsilon=\dfrac{c}{a}=\dfrac{\sqrt{a^2+b^2}}{a}=\sqrt{1+\dfrac{b^2}{a^2}}\]

Sustituyendo \(a^2\) y \(b^2\) por los denominadores de [4]

\[\epsilon=\sqrt{1+\dfrac{r^2}{r^2tg^2\beta}}\]

Simplificando

\[\epsilon=\dfrac{1}{sen\beta}\]

Como \(\alpha=90º\) , \(sen\alpha=1\) y, por tanto, de nuevo

\[\epsilon=\dfrac{sen\alpha}{sen\beta}\]


 
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Epsilones. Página + o - matemática de Alberto. Correo: alberto@epsilones.com. En la red desde el 4-7-2002 (ya hace). Última actualización: ver Novedades.
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