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Obtención de la ecuación de la hipérbola

Como lugar geométrico, la hiperbola se define como el conjunto de los puntos del plano cuya diferencia de distancias a dos puntos fijos llamados focos es constante.

Ecuación

Vamos a calcular la ecuación de una hipérbola centrada en el origen con sus focos en los puntos \(F'=(-c, 0)\) y \(F=(c, 0)\). Para ello, vamos a obtener dos resultados previos.

Sea el punto \(A=(a,0)\) de la figura. Es obvio que \(d(A,F)=c-a\) y que \(d(A,F')=a+c\), de modo que si restamos ambas distancias tenemos;

\[d(A,F')-d(A,F)=a+c-(c-a)=2a\]

Por lo tanto, para cualquier punto de la elipse, la diferencia de distancias a los focos debe ser 2a.

Si ahora nos fijamos en el rectángulo dibujado entre las dos ramas de la hipérbola, vemos que se ha construido de modo que su base sea 2a y su diagonal 2c. Llamammos b a la mitad de su altura. Este valor b no solo va a interpretar el papel de la b de la ecuación de la elipse, sino que tiene un singificado geométrico preciso, porque +b/a y -b/a son las pendientes de las asíntotas de la hipérbola (de hecho, las dos diagonales del rectángulo están contenidas en laas asíntotas).

Aplicando el teorema de Pitágoras al triángulo OAB, tenemos

\[c^2=a^2+b^2\]

Escribimos ahora la condición que deben cumplir por definición los puntos de la elipse. Si \(P=(x,y)\) es uno de tales puntos, se tiene que

\[d(P,F')=\sqrt{(x+c)^2+y^2}\]

y que

\[d(P,F)=\sqrt{(x-c)^2+y^2}\]

La diferencia de ambas distancias debe ser 2a:

\[\sqrt{(x+c)^2+y^2}-\sqrt{(x-c)^2+y^2}=2a\]

Se deja solo una raíz en el miembro de la izquierda

\[\sqrt{(x+c)^2+y^2}=2a+\sqrt{(x-c)^2+y^2}\]

Se eleva al cuadrado

\[(x+c)^2+y^2=4a^2+(x-c)^2+y^2+4a\sqrt{(x-c)^2+y^2}\]

Desarrollando y simplificando

\[cx-a^2=a\sqrt{(x-c)^2+y^2}\]

Se eleva de nuevo al cuadrado

\[c^2x^2+a^4-2cxa^2=a^2((x-c)^2+y^2)\]

Desarrollando, simplificando y sacando factor común

\[(a^2-c^2)x^2+a^2y^2=a^2(a^2-c^2)\]

Sustituyendo \(a^2-c^2\) por \(-b^2\) tenemos

\[-b^2x^2+a^2y^2=-a^2b^2\]

Dividiendo todo por \(-a^2b^2\), tenemos:

\[\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1\]

Asíntotas

Vamos a calcular las asíntotas de la hipérbola. Lo haremos para la rama positiva derecha. Los otros tres casos son prácticamente idénticos.

Si de la ecuación de la hipérbola despejamos la variable y (y nos quedamos con el valor positivo) tenemos la función: \[f(x)=\sqrt{\left(\dfrac{x^2}{a^2}-1\right)b^2}=\dfrac{b}{a}\sqrt{x^2-a^2}\]

Que no tiene asíntotas horizontales es obvio: \[\displaystyle\lim_{x \to \infty}{\dfrac{b}{a}\sqrt{x^2-a^2}}=\infty\]

Si tiene una asíntota oblicua, su pendiente será:

\[m=\displaystyle\lim_{x \to \infty}{\dfrac{f(x)}{x}}=\displaystyle\lim_{x \to \infty}{\dfrac{\dfrac{b}{a}\sqrt{x^2-a^2}}{x}}=\displaystyle\lim_{x \to \infty}{\dfrac{b}{a}\sqrt{1-\dfrac{a^2}{x^2}}}=\dfrac{b}{a}\]

Calculamos ahora la ordenada en el origen:

\[n=\displaystyle\lim_{x \to \infty}{(f(x)-mx)}=\displaystyle\lim_{x \to \infty}{\left(\dfrac{b}{a}\sqrt{x^2-a^2}-\dfrac{b}{a}x\right)}=\dfrac{b}{a}\displaystyle\lim_{x \to \infty}{\left(\sqrt{x^2-a^2}-x\right)}=0\]

Por lo tanto, la recta \[y=\dfrac{b}{a}x\] es asíntota de la hipérbola.

 

 


► Archivo GeoGebra: ecuación hipérbola.

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Epsilones. Página + o - matemática de Alberto. Correo: alberto@epsilones.com. En la red desde el 4-7-2002 (ya hace). Última actualización: ver Novedades.
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